Численное решение краевой задачи

Численное решение краевой задачи

Для однозначного определения неизвестной функции ( u(x) ) уравнение (1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка ( [0, l] ). Задаваться может функция ( u(x) ) (граничное условие первого рода), поток ( w(x) = −k(x) frac (x) ) (граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода): $$ egin ag <2>u(0) = mu_1, quad u(l) = mu_2, end $$ $$ egin ag <3>−k(0) frac (0) = mu_1, quad k(l) frac (l) = mu_2 end $$ $$ egin ag <4>−k(0) frac (0) + sigma_1 u(0) = mu_1, quad k(l) frac (l) + sigma_2 u(l) = mu_2. end $$

Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (1), используются при моделирование многих физико-механических процессов.

Кроме того,могут рассматриваться задачи с несамосопряженным оператором, когда, например, $$ egin ag <5>- frac left( k(x) frac
ight) + v(x) frac
+ q(x) u = f(x), quad 0 —>

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цель работы — изучение численных методов решения линей­ных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, численное решение линейной краевой задачи для уравнения второго порядка.

Краевой задачей называется задача нахождения решения системы (1) (n  2), для которой дополнительные условия задаются более чем в одной точке. Здесь ограничимся линейной краевой задачей (линейными называются краевые задачи для линейных уравнений с линейными краевыми условиями) для одного уравнения второго порядка:

Приближенное решение будем искать в виде линейной комбинации базисных функций:

В зависимости от способа определения коэффициентов разложения ai можно выделить методы коллокаций, наименьших квадратов, метод Галеркина и его модификации. Все они сводятся к построению системы линейных алгебраических уравнений, из которой, если существует ее решение, находятся неизвестные коэффициенты разложения.

Другим возможным путём решения (1) является сведения её к последовательности задачи с начальными условиями

Здесь y — точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой интегральной кривой; α —угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке. Считая решение задачи Коши y = y (х, α) зависящим от параметра α, будем искать такую интегральную кривую y=y(x, α*), которая выходит из точки (x, y ) и попадает в точку (xN, yN ).

Следовательно, для нахождения параметра α получим уравнение вида F(α) = 0, где F(α) = y(xN, α) — yN. Это уравнение отличается от привычной записи тем, что функцию F(x) нельзя представить в виде некоторого аналитического выражения, поскольку она является решением задачи Коши. Тем не менее для решения уравнения может быть использован любой из рассмотренных ранее методов решения нелинейных уравнений. Описанный алгоритм называется методом стрельбы, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона интегральной кривой α в начальной точке.

В методе конечных разностей производные, входящие в дифференциальное уравнение заменяются их конечно-разностными аппроксимациями. Таким образом краевая задача для дифференциального уравнения сводится к системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек.

Читайте также:  Gpsgate для windows 7

Решение (1) будем отыскивать на сетке с постоянным шагом h (такие сетки называются равномерными) и узлами

где N — число шагов.

Аппроксимируя производные конечно-разностными формулами

приведем краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений

где

истема уравнений имеет трехдиагональную матрицу, так как каждое уравнение содержит лишь три соседних неизвестных yj, уj±1. Экономным методом решения таких систем является метод прогонки, представляющий собой разновидность метода исключения Гаусса. В этом методе решение отыскивается в виде

Сравнивая теперь полученное yj с (3), находим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов

ри j = 0, находим, что

Таким образом, метод решения складывается из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход прогонки) вычисляются прогоночные коэффициенты по рекуррентным формулам (4) с известными начальными значениями (5).

На втором этапе (обратный ход прогонки) по формуле (3) вычисляются yj (j = N–1, N–2, …, 1) с учетом заданного краевого условия yN.

Погрешность решения имеет тот же порядок, с которым аппроксимируются производные, т. е. О(h 2 ).

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вычислить установившееся распределение концентрации газа в одномерной системе из краевой задачи

D=f(x) ( α, βα s ;

5)f(x)=

Функцию f(x) в правой части удобно описать с помощью подпрограммы-функции. Для d1, ξ1, η1, надо задать одномерные массивы.

Для проверки программы можно предварительно решить тестовую задачу при f(x) 0,имеющую аналитическое решение

или тестовую задачу при f(x) D,имеющую аналитическое решение

Блок-схема программы приведена на Рис.1. В цикле 3-5 вычисляются элементы трёхдиагональной матрицы и правые части системы. В цикле 7-9 находятся прогоночные коэффициенты (аналог прямого хода метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы), а в цикле 10-12 искомые величины, которые затем выводятся в виде графика.

Отчет должен содержать:

формулы и параметры для конкретного варианта;

результаты решения, графики зависимостей.

1. Как ставится и решается линейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения?

2. Как строится метод прогонки?

3. Какова погрешность данного метода?

4. Каковы условия устойчивости метода прогонки?

5. Какие ещё существуют методы численного решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений?

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — А. Т. Алымбаев

В статье на конкретном примере подтверждается возможность эффективной реализации схемы метода Рунге-Кутты . Задача решается двумя способами: схемой дискретного аналога краевой задачи и схемой метода Рунге-Кутты первого порядка. Сравниваются результаты с результатом, полученным методом прогонки.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — А. Т. Алымбаев

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF THE NUMERICAL SOLUTION OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

The article, on a concrete example, confirms the possibility of effective implementation of the RungeKutta scheme scheme. The problem is solved in two ways, by a scheme of a discrete analogue of the boundary value problem and by a scheme of the Runge-Kutta method of the first order. The results are compared with the result obtained by the sweep method

Читайте также:  Бесшумный компьютер своими руками

Текст научной работы на тему «Численная реализация метода численного решения краевой задачи системы дифференциальных уравнений»

канд. физ.-мат. наук, профессор, кафедра математических и естественно-научных дисциплин, Восточный университет им. Махмуда Кашгари,

г. Бишкек, Киргизия

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. В статье на конкретном примере подтверждается возможность эффективной реализации схемы метода Рунге-Кутты. Задача решается двумя способами: схемой дискретного аналога краевой задачи и схемой метода Рунге-Кутты первого порядка. Сравниваются результаты с результатом, полученным методом прогонки.

Ключевые слова: дискретный аналог краевой задачи, метод Рунге-Кутты, метод Эйлера, метод Эйлера с регуляризатором.

A.T. Alymbaev, Mahmud Kashgar Barskani, Bishkek, Kyrgyz Republic

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF THE NUMERICAL SOLUTION OF THE BOUNDARY VALUE

PROBLEM OF A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract. The article, on a concrete example, confirms the possibility of effective implementation of the Runge-Kutta scheme scheme. The problem is solved in two ways, by a scheme of a discrete analogue of the boundary value problem and by a scheme of the Runge-Kutta method of the first order. The results are compared with the result obtained by the sweep method.

Keywords: discrete analogue of the boundary value problem, Runge-Kutta method, Euler method, Euler method with regularizer.

Рассмотрим краевую задачу:

Ау (а) + Ву (Ь) = сС. (2)

Проблема нахождения решения краевой задачи (1), (2) сводится к проблеме определения решения интегрального уравнения

у V) = Уо + |! 5 у (5 ))сС5, (3)

и разрешимости алгебраического уравнения относительно х0 вида

(А + В)Уо + В | Г (5, у (5 ))с5 = сС, (4)

Согласно схеме метода Эйлера, дискретный аналог задачи (3), (4) имеет вид

У> = Уо + f(tk,yk), i = 0,1,2. N, (5)

(A + B)yo + f (tk, Ук) = d. (6)

Рассмотрим краевую задачу:

Гу (2) + 2у’ (2) = 1 |у (2,3) = 2,15.

Положив у’ = г в краевую задачу (7), (8) приводим к краевой задаче

у (2) + 2г(2) = 1 у (2,3) + 0 • г(2,3) = 2,15.

или к краевой задаче

1 2У уо 1 + ( 0 0 у уз

где уо = у(2), го = г(2), уз = у(2,3), гз = г(2,3).

Разбиваем отрезок [2; 2,3] на части ^ = 2, ^ = 2,1, ^ = 2,2, t3 = 2,3 , взяв ¡1 = 0,1. Решаем краевую задачу (11), (12), согласно алгоритма метода Эйлера вида

0,025у0 + 0,8г0 + 0,1

у1 = уо + 0,1го, г1 = 0,025уо + 0,8го + 0,1..

При / = 2 из (13) получим

11 -2го — 2,1г + 4 у0 + 4,2 у + 2

0,025у0 + 0,8г0 + 0,1 + г0

-2го — 2,1(0,025уо + 0,8го + 0,1) + 0,25уо + 4-(уа + 0,1гс) + 2

Читайте также:  Спиральная антенна для dvb t2 своими руками

= 1,0025у0 + 0,18г0 + 0,01 "

= ч 0,1(-2,1 • 0,025 + 0,25 + 0,2380952)у0 + 0,1(-2 -1,68 + 0,0238095)г0 +0,1(2 — 0,21)) У = Ч0025у0 + 0,18г0 + 0,01 = ч0,0435595у0 + 0,6343809г0 + 0,179 Отсюда

у2 = 1,0025у0 + 0,18г0 + 0,01, г2 = 0,0435595у0 + 0,6343809г0 + 0,179. Далее, при / = 3 из (13) получим

-Хо го + у о +1 — х1г1 + 27 У1 +1 — Х2 г2 + У 2 +1

г0 + 0,025у0 + 0,8г0 + 0,1 + 0,0435595у0 + 0,6343809г0 + 0,179

11 -2го + 4 ус +1 — 2,1(0,025уо + 0,8го + 0,1) + —у + 0,1го) +1 —

-2,2(0,0435595у0 + 0,6343809г0 + 0,179) + 44 (1,0025у0 + 0,18г0 + 0,01) +1 | =

0,0685592у0 + 2,426331г0 + 0,279

, (0,25 — 0,0525 + 0,2380952 — 0,0958309 + 0,2278409)у0 + (-2 —1,68 + 0,0238095 -1,3956379 + 0,040909)гс + 3 — 0,21 — 0,3938 + 0,0022727) = = 1,0068559у0 + 0,243438г0 + 0,0279 " = ч0,05676604у0 + 0,4989079г0 + 0,2398472/ Следовательно,

у3 = 1,0068559у0 + 0,243438г0 + 0,0279, г3 = 0,0567604у0 + 0,4989079г0 + 0,2398472. Подставляя (16) в краевое условие (12), получим

0 01( 1,0068559у0 + 0,243438г0 + 0,0279

1 0 Д0,0068559у0 + 0,4989079г0 + 0,2398472

1,0068559 0,243438 Д г,

,1,0068559 0,243438Дг0 Вычислив обратную матрицу

( 1 2 ,1,0068559 0,243438

12 1,0068559 0,243438

1,7702738 ,-1,0068559 Умножая слева обе части уравнения (17) на обратную матрицу, получим

у0 1 1 (0,243438 -2У 1 1 1 ( 0,243438 — 4,2442

1,7702738 ,-1,0068559 1 Д 2,1221 ( 4,000762 1

1,7702738 ,-1,0068559 + 2,1221.

1,7702738 , 1,1152441 Следовательно,

1,7702738, у0 = 2,2599679, г0 = -0,6299839.

Подставляя (18) в (14), (15), (16), получим численные решения краевой задачи (7), (8): У1 = 2,2599679 + 0,1 • (-0,6299839) = 2,2599679 — 0,0629983 = 2,1969696, у2 = 1,0025 • 2,2599679 — 0,18 • 0,6299839 + 0,01 = 2,2656178 —0,1133971 + 0,01 = 2,1622207,

у3 = 1,0068559 • 2,2599679 — 0,243438 • 0,6299839 + 0,0279 = = 2,275462 — 0,153362 + 0,0279 = 2,15. В результате получим следующую расчетную таблицу 1:

Таблица 1 — Расчетная таблица

Ук 2,2599679 2,1969696 2,1622207 2,15

В учебнике Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова «Практикум по вычислительной математике» для решения краевой задачи (7), (8) методом прогонки получена следующая расчетная таблица 2:

Таблица 2 — Расчетная таблица

Ук 2,2490 2,1933 2,1618 2,15

2. Метод Эйлера с регуляризатором

Для нахождения численного решения краевой задачи (11), (12), будем пользоваться схемой метода

х, = Х0 + Л£| ка,ха) — -X,х„) I + -[Б-^ — (Б-М + ЕЮ.

Так как detI I = 0 , то краевую задачу (11), (12) нельзя свести к разностному уравне-

нию вида № Чтобы обойти эту трудность, вместо матрицы Б = £ Д рассмотрим регуляри-

зированную матрицу Б0(т) = | |, которая при т ® 0 Б0(т) ® Б .

Вычислим обратную матрицу Б.,1:

Так как А = | 1 2|, й = | 1 |, то , 0 0 / 12,15

1 (0 т]( 1 ] 1 (2,15т

т| 1 0 112,15 I т( 1

т( 1 0 II 0 0 I т< 1 2

Б-1А + Е = 110 +11 °] = ( 1 ..

0 т| 12II0 |1т 2/т +1|

( Уо ^ =(2,15 Л ( уо 1 = ‘ 2,15 — уо л

, г0 У = 1 1 ^ у о! г+ (2/Г + 1)го1 ч (1- у о)/г- (2/г + 1)го1

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector