Что означает mod в математике

Что означает mod в математике

Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m: a ≡ b (mod m).

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m, то оно сравнимо с нулем по модулю m: n ≡ 0 (mod m).

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Для любого натурального x верно равенство x = x1 + 10x2, где x1 – число единиц, x2 – число десятков этого числа. Пусть y = x2 + 2x1 (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10y – x = 19x1 ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a p – a делится на p: a p ≡ a (mod p).

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p, то a p – 1 ≡ 1 (mod p).

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Читайте также:  Запись песни на диктофон

Воспользуемся малой теоремой Ферма: a p – 1 ≡ 1 (mod p). Положим a = 10, p = 17. Тогда 10 16 ≡ 1 (mod 17) или 10 16 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10 16 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Перечислим несколько теорем, относящихся к С.

С. первой степени ax ≡ b (mod n ) возможно, если b делится на d , наибольшего делителя чисел a и b , и имеет d решений. Если n простое число и a не делится на n , то

a n— 1 ≡ 1 (mod n ) (теорема Фермата).

Если n простое число, то

1.2.3. ( n— 1) ≡ — 1 (mod n );

если же n — составное, то 1.2.3. ( n— 1)+1 не делится на n (теорема Вильсона). С. второй степени x 2 ≡ q (mod p ) при простом модуле возможно и имеет два решения, если q ( p —1)/2 ≡ 1 (mod p ); С. невозможно, если q ( p —1)/2 ≡ —1 (mod p ).

Эти два случая различаются при помощи особого вычисления, предложенного Лежандром и усовершенствованного Якоби. Вычисление выполняется очень быстро даже для больших значений p и q.

С. m -ой степени при простом модуле не может иметь более m решений (теорема Лагранжа).

С. x m ≡ q (mod p ) при простом модуле возможно и имеет d решений, если q ( p —1)/ d ≡ 1 (mod p ). Здесь d наибольший делитель чисел m и p— 1.

Для всякого простого числа p существует такое число g , называемое его первообразным корнем , что числа g , g 2 , g 3 . g p— 1 несравнимы между собой по модулю р .

Если g a ≡ а (mod p ), то a называется указателем (index) числа a при основании g. Это обозначают так: a = ind a , причем основание подразумевается.

В "Теории С." П. Л. Чебышева приложена таблица указателей для всех простых чисел меньших 200. В сочинении C. G. J. Jacobi, "Canon Arithmeticus", эти таблицы доведены до 1000.

При помощи указателей решаются С. на основании теоремы:

ind ( a b ) ≡ ind a + ind b (mod p— 1)

напоминающей свойства логарифмов.

Важнейшие сочинения, относящиеся к теории С.: Gauss, "Disquisitiones arithmeticae" (Лейпциг, 1801, "Gauss Werke", т. I; это сочинение издано в Берлине в 1889 г. в переводе на немецкий язык); Serret, "Cours d’alg èbre supé rieure" (т. II, секц. III, П., 1879); Dedekind, "Vorlesungen über Zahlentheorie vo n Lejeune-Dirichlet" (Брауншвейг, 1894; в 1899 г. в СПб. появился первый выпуск этого сочинения в переводе на русский язык); П. Л. Чебышев, "Теория С." (СПб., 1849; 2-е изд., СПб., 1879); Ю. В. Сохоцкий, "Высшая алгебра" (ч. II-я, СПб., 1888).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890—1907 .

Смотреть что такое "Сравнение в математике" в других словарях:

Сравнение, в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Сравнение — Сравнение многозначный термин. Сравнение процесс количественного или качественного сопоставления разных свойств (сходств, отличий, преимуществ и недостатков) двух объектов. Сравнение выяснение, какой из двух объектов лучше в… … Википедия

СРАВНЕНИЕ — познават. операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов; с помощью С. выявляются количеств. и качеств. характеристики предметов, классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания. Сравнить… … Философская энциклопедия

Читайте также:  Горит звездочка на телефоне вверху экрана

Сравнение по модулю натурального числа — В теории чисел сравнение[уточнить] по модулю натурального числа n задаваемое означенным числом отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью на него. Факторпространство по этому отношению называется «кольцом… … Википедия

Сравнение по модулю — Сравнение[1] по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия

Сравнение (философ.) — Сравнение, акт мышления, посредством которого классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания; в С. мир постигается как «связное разнообразие». Акт С. состоит в попарном сопоставлении объектов с целью выявления их… … Большая советская энциклопедия

Сравнение — I Сравнение (математическое) соотношение между двумя целыми числами а и b, означающее, что разность а b этих чисел делится на заданное целое число т, называемое модулем С.; пишется а ≡ b (mod т). Например, 2 ≡ 8 (mod 3), т. к. 2 8 делится … Большая советская энциклопедия

Характер (в математике) — Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп. В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует… … Большая советская энциклопедия

Класс вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия

Классы вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… … Википедия

Определение 1. Если два числа 1 ) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r, то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p.

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

a=sp+r, (1)

где s — число, и r одно из чисел 0,1, . p−1.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Действительно. Если s получит значение от −∞ до +∞, то числа sp представляют собой совокупность всех чисел, кратных p. Рассмотрим числа между sp и (s+1)p=sp+p. Так как p целое положительное число, то между sp и sp+p находятся числа

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2. p−1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s1p+r1. Тогда

(2)

Так как r1 принимает один из чисел 0,1, . p−1, то абсолютное значение r1r меньше p. Но из (2) следует, что r1r кратно p. Следовательно r1=r и s1=s.

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то a−b делится на p.

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то они при делении на p имеют один и тот же остаток p. Тогда

Читайте также:  Яндекс такси вход в личный кабинет водителя

где s и s1 некоторые целые числа.

Разность этих чисел

(3)

делится на p, т.к. правая часть уравнения (3) делится на p.

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p, то эти числа сравнимы по модулю p.

Доказательство. Обозначим через r и r1 остатки от деления a и b на p. Тогда

По утверждению a−b делится на p. Следовательно rr1 тоже делится на p. Но т.к. r и r1 числа 0,1. p−1, то абсолютное значение |rr1| Свойство 1. Для любого a и p всегда

a≡a mod (p).

Свойство 2. Если два числа a и c сравнимы с числом b по модулю p , то a и c сравнимы между собой по тому же модулю, т.е. если

a≡b mod (p), b≡c mod (p).
a≡c mod (p).

Действительно. Из условия свойства 2 следует a−b и b−c делятся на p. Тогда их сумма a−b+(b−c)=a−c также делится на p.

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),
a+m≡b+n mod (p) и a−m≡b−n mod (p).

Действительно. Так как a−b и m−n делятся на p, то

(a−b)+ (m−n)=(a+m)−(b+n) ,
(a−b)−(m−n)=(a−m)−(b−n)

также делятся на p.

Это свойство можно распространить на какое угодно число сравнений, имеющих один и тот же модуль.

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),
am≡bn mod (p).

Действительно.Так как a−b делится на p, то (a−b)m также делится на p, следовательно

am≡bm mod (p).

Далее m−n делится на p, следовательно b(m−n)=bm−bn также делится на p, значит

bm≡bn mod (p).

Таким образом два числа am и bn сравнимы по модулю с одним и тем же числом bm, следовательно они сравнимы между собой (свойство 2).

a≡b mod (p).
a k ≡b k mod (p).

где k некоторое неотрицательное целое число.

Действительно. Имеем a≡b mod (p). Из свойства 4 следует

a·a≡b·b mod (p).
a·a·a≡b·b·b mod (p).
.
a k ≡b k mod (p).

Все свойства 1-5 представить в следующем утверждении:

Утверждение 4. Пусть f(x1, x2, x3, . ) целая рациональная функция с целыми коэффициентами и пусть

a1b1, a2b2, a3b3, . mod (p).
f(a1, a2, a3, . )≡f(b1, b2, b3, . ) mod (p).

При делении все обстоит иначе. Из сравнения

am≡bm mod (p)

не всегда следует сравнение

a≡b mod (p).

Утверждение 5. Пусть

am≡bm mod (p),
a≡b mod (p/λ),

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p. Тогда

m=m1λ и k=k1λ.

Так как m(a−b) делится на k, то

имеет нулевой остаток. Тогда

.

имеет нулевой остаток, т.е. m1(a−b) делится на k1. Но числа m1 и k1 числа взаимно простые. Следовательно a−b делится на k1=k/λ и, тогда, a≡b mod (p/λ).

Утверждение 6. Если

a≡b mod (p)

и m является один из делителей числа p, то

a≡b mod (m).

Действительно. a−b делится на p. p делится на m. Следовательно a−b делится на m.

Утверждение 7. Если

a≡b mod (p), a≡b mod (q), a≡b mod (s)
a≡b mod (h),

где h наименьшее общее кратное чисел p,q,s.

Действительно. Разность a≡b должна быть числом, кратным p,q,s. и, следовательно должна быть кратным h.

В частном случае, если модули p,q,s взаимно простые числа, то

a≡b mod (h),

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p. Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector