Что значит взаимно перпендикулярные векторы

Что значит взаимно перпендикулярные векторы

Прямые и плоскости в пространстве;

18- А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

19- Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

1. Пересекающиеся прямые

Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.

2. Параллельные прямые

На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.

20-Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

21- Взаимное расположение двух плоскостей.

Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

и

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если или , то плоскости пересекаются и системауравнений

(6)

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:

22- Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

Теорема. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F’ на эту плоскость будет равна фигуре F.

23- Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной. Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

[править]Доказательство

Пусть — перпендикуляр к плоскости , — наклонная и — прямая в плоскости , проходящая через точку и перпендикулярная проекции . Проведем прямую параллельно прямой . Прямая перпендикулярна плоскости (так как она параллельна ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, перпендикулярна прямой . Проведем через параллельные прямые и плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости , это по условию и по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой .

25-Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. [1] Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

Читайте также:  Сгнил нерв в зубе

Линейный угол двугранного угла и угол между плоскостями — разные понятия. Определение угла между плоскостями такое.

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями.

Геометрические тела и поверхности,тела вращения;

26-Геометрическое тело — часть пространства, со всех сторон ограниченная. Если поверхность, ограничивающая тело, состоит из плоскостей, то тело называют многогранником. Эти плоскости пересекаются по прямым, наз. рёбрами, и образуют грани тела. Каждая из граней есть многоугольник, стороны которого суть рёбра многогранника; вершины этого многоугольника наз. вершинами многогранника.

Многогранник, у которого все углы равны между собой и грани, равные между собой, — правильные многоугольники, называютмя правильными. Выпуклых правильных многогранников только пять. Многогранник называется призмой (фиг. 1), если две его грани суть равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани — параллелограммы. Параллельные грани наз. основаниями, а расстояние между ними — высотой призмы. Боковые ребра призмы всегда параллельны и равны между собой. Призма наз. прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям. Если же боковые ребра не перпендикулярны к основаниям, то призма наз. наклонной. Параллелепипед (фиг. 2) есть призма, основания которой суть параллелограммы. Если же эта призма прямая и основания прямоугольники, то она наз. прямоугольным параллелепипедом. Многогранник называется пирамидой (фиг. 3), если одна из его граней многоугольник (основание пирамиды), а другие грани треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирамиды). Расстояние от вершины до основания наз. высотойпирамиды.

27-Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани —параллелограммы.

Виды призм

Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.

Боковые ребра правильной призмы равны.

Правильная призма является прямой.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником.

28-Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

29-Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину [1] . По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

30-Усечё́нная пирами́да — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

31-Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Существует всего 5 видов правильных многогранников:

32-Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

Читайте также:  Планшеты на базе windows

33-Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называютопирающимся на данное основание). Также можно сказать, что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

34-Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

35-Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Взаимно перпендикулярный вектор

Вычислить скалярное произведение ab, если а — Зр — 2q и b p 4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы . [31]

Наиболее часто пользуются правой прямоугольной декартовой системой координат, изображенной на рис. 1.1. Здесь i, j и k единичные по модулю и взаимно перпендикулярные векторы орты системы координат, образующие ее ортонормированный базис. [32]

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах Р 2А ЗВ и Q — А — 4В, где А и В — единичные взаимно перпендикулярные векторы . [33]

Вычислить угол между векторами a 3p — f — 2q и b p -) — 5q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы . [34]

Вычислить скалярное произведение ab, если а 3р — — 2q и b p — f — 4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы . [35]

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах Р 2А — — ЗВ и Q — А — 4В, где А и В — единичные взаимно перпендикулярные векторы . [36]

При записи скалярного произведения символы перемножаемых векторов пишутся рядом без какого-либо знака между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов ( а л / 2) равно нулю. [37]

Если мы пожелаем, чтобы базисы состояли из равных и взаимно перпендикулярных векторов , то нужно будет использовать специальные матрицы. Форма соотношения Пифагора, а также формулы для скалярных и векторных произведений показывают с очевидностью, что и здесь матрицы окажутся полезными. [38]

Читайте также:  Каким кругом лучше резать плитку

Относительно прямоугольной системы координат дано аффинное преобразование х 7х — — у, у — — 5х — — оу. Папги два таких взаимно перпендикулярных вектора, которые при этом преобразовании переходят во взаимно перпендикулярные векторы . [39]

Для сплошных незамкнутых тонкостенных сечений с одной осью симметрии, которые можно разложить на составные элементы с осями симметрии, совмещенными с осью симметрии всего сечения, центр изгиба можно определять аналогично определению центра параллельных сил. Для этого моменты инерции отдельных элементов; / i, / a, Зп представляются в виде взаимно перпендикулярных векторов , прохо-дящих через центры изгиба соответствующих элементов. [40]

Сущность разложения Фурье поясняется следующим примером из векторной алгебры. Переобозначим эти единичные взаимно перпендикулярные векторы следующим образом: XQ UI, yo U2, z0 из. [41]

Как определяется ускорение при векторном способе описания движения. Как направлено ускорение относительно годографа функции г r ( f) ( траектории движения), если известно, что это ускорение направлено по касательной к годографу скорости. Покажите, что ускорение может быть представлено в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов . Как направлены эти векторы и каковы их модули. [42]

Теорема Шаля позволяет сравнивать отрезки, отложенные на той же прямой; теорема Фалеса позволяет сравнивать параллельные отрезки. Введение метрики позволяет, если выбрана единица длины, вычислить с помощью теоремы Пифагора расстояние между двумя точками, определенными своими координатами. Базис будет всегда предполагаться ортонормальным, то есть состоящим из единичных взаимно перпендикулярных векторов . Мы видели, что расстояние не зависит от базиса. [43]

Дальнейшее развитие этих идей напрашивается само собой. Вместе с тем, они определяют тривектор. Два тривектора, этим путем образуемые в одном и том же трехмерном элементе, всегда сонаправлены. Тривектор данного элемента всегда может быть составлен из трех взаимно перпендикулярных векторов ( может быть ортоюиироваи); и если два взаимно перпендикулярных вектора выбраны, то третий, к ним перпендикулярный, определяется ( по направлению) однозначно. Если через точку М проходят два трехмерных элемента, то косинус угла между ними определяется отношением скалярного произведения их тривекторов к произведению модулей этих тривекторов. [44]

Здесь частота со — может принимать М дискретных значений, а фаза ф является произвольной константой. Схематическое изображение FSK-модулированного сигнала дано на рис. 4.5, б, где можно наблюдать типичное изменение частоты ( тона) в моменты переходов между символами. Такое поведение характерно только для частного случая FSK, называемого частотной манипуляцией без разрыва фазы ( continuous-phase FSK — CPFSK); она описана в разделе 9.8. В общем случае многочастотной манипуляции ( multiple frequency shift keying — MFSK) переход к другому тону может быть довольно резким, поскольку непрерывность фазы здесь не обязательна. В приведенном примере М 3, что соответствует такому же числу типов сигналов ( троичной передаче); отметим, что значение М 3 было выбрано исключительно для демонстрации на рисунке взаимно перпендикулярных осей. Множество сигналов описывается в декартовой системе координат, где каждая координатная ось представляет синусоиду определенной частоты. Как говорилось ранее, множества сигналов, которые описываются подобными взаимно перпендикулярными векторами , называются ортогональными. Не все схемы FSK относятся к ортогональным. [45]

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector