Формула численного интегрирования метода симпсона имеет вид

Формула численного интегрирования метода симпсона имеет вид

Принцип метода Симпсона состоит в замене под­ын­те­граль­ной функ­ции f(х) интерполяционным мно­гочленом Нью­­то­на вто­рой сте­пени. Тогда для каждого эле­мен­тар­­но­го от­резка [хi,хi+1] име­ем следующее значение площади подынтегральной кривой:

.

Для всего отрезка интегрирования [a,b] формулой Симпсона:

Данное выражение называется формулой Сим­сона. Оно от­носится к формулам по­вы­шен­ной точ­нос­ти и яв­ля­ется точ­ной для мно­го­чле­нов второй и третьей сте­пе­ни.

Рисунок 31 – Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Симпсона

Приведём программу, реализующую вычисление определённого интеграла методом Симпсона с заданнойточностью. В качестве подынтегральной будем использовать функцию:

.

Рассмотренные формулы численного интегрирования требуют чёткого указания количества разбиений отрезка интегрирования. Однако классическое использование численного метода предполагает вычисление значения (корня, интеграла и т.д.) с заданной точностью.

Точность любой формулы численного интегрирования зависит от величины отрезка разбиения D.

Будем вычислять значение интеграла при разных значениях D (D1, D2, D3,…), где Di+1 = 2Di. Как только разница между значением интеграла, вычисленного при Di и интеграла, вычисленного при Di+1, станет меньше, чем значение e, будем считать, что интеграл вычислен с заданной точностью e.

Данный метод интегрирования с заданной точностью прост в реализации, однако он требует значительных избыточных вычислений, что приводит к повышению затрат времени на вычисление.

program simp;

function f(x: real): real;

Begin

f:=1/x

end;

Var

a,b,e: real;

i: integer;

xa,xab,xb,dx,s1,s: real;

n: integer;

Begin

writeln(‘[a,b],e’);

readln(a,b,e);

n:=1;

dx:=(b-a)/n;

s:=dx*(f(a)+4*f(a+dx/2)+f(b))/6;

Repeat

s1:=s;

s:=0;

dx:=(b-a)/n;

for i:=0 to n-1 do

Begin

xa:=a+dx*(i);

xb:=xa+dx;

xab:=xa+dx/2;

s:=s+dx*(f(xa)+4*f(xab)+f(xb))/6;

end;

until abs(s-s1)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9950 — | 7568 — или читать все.

Вычис­ление определенного интеграла от непрерывной функции с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда явля­ется элементарной функцией или функцией, для которой состав­лены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция зада­ется таблично и формула Ньютона — Лейбница непосредственно неприменима.

Читайте также:  Читать fb2 на компе

Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квад­ратурных.

Напомним простейшие формулы численного интегрирования.

Вычислим приближенное численное значение . Интервал интегрирования [а, b] разобьем на п равных частей точками деле­ния, называемыми узлами квадра­турной формулы. Пусть в узлах известны значения:

Величина называется интервалом интегрирования или шагом. Отметим, что в практике -вычислений число я выбирают небольшим, обычно оно не больше 10-20.На частичном интервалеподынтегральную функцию заменяют интерполяционным много­членом

который на рассматриваемом интервале приближенно представ­ляет функцию f (х).

а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда

Полученная квадратная формула

(1)

называется формулой прямоугольников.

б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда

(2)

Формула (2) называется формулой трапеций.

в) Интервал интегрирования разобьем на четное число 2n равных частей, при этом шаг интегрирования h будет равен. На интерваледлиной 2h подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй сте­пени, т. е. удержим в многочлене три первых члена:

Полученная квадратурная формула называется формулой Симп­сона

(3)

Формулы (1), (2) и (3) имеют простой геометрический смысл. В формуле прямоугольников подынтегральная функция f(х) на интервале заменяется отрезком прямой у = ук, параллельной оси абсцисс, а в формуле трапеций — отрезком прямойи вычисляется соответственно площадь прямо­угольника и прямолинейной трапеции, которые затем сумми­руются. В формуле Симпсона функция f(х) на интерваледлиной 2h заменяется квадратным трехчленом — параболойвычисляется площадь криволинейной параболической трапеции, затем площади суммируются.

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.

Читайте также:  Как использовать видеокарту на полную мощность

По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв­ляется достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ­ций, имеющих конечное число точек разрыва.

Читайте также:  Втб 24 официальный сайт регистрация личного кабинета

Вычис­ление определенного интеграла от непрерывной функции с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда явля­ется элементарной функцией или функцией, для которой состав­лены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция зада­ется таблично и формула Ньютона — Лейбница непосредственно неприменима.

Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона.

Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций.

В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [а, 6] по трем равноотстоящим узлам.

Разобьем интервал интегрирования [а, b] на четное число п равных отрезков с шагом h.

Примем:

Значения функций в точках обозначим соответственно:

На каждом отрезке [х, х2], [х2, х4], . [x,_i, х,+ |] подынтегральную функцию Дх) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

где

В качестве Р,(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат:

Формула Лагранжа для интервала [x,_i, ,t,+i] имеет вид:

Элементарная площадь s, (см. рис. 7.7) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что х, — х,_i=x,+i — х, = Л, проведем вычисления и получим для каждого элементарного участка:

После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона:

Часто пользуются простой формулой Симпсона

Блок-схема алгоритма метода Симпсона представлена на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Блок-схема метода Симпсона

Пример 7.1. Вычислить интеграл

Разбиваем интервал интегрирования на 10 равных частей: «=10. Шаг интегрирования /? = ( 1 — 0)/10 = 0,1. Результаты вычислений подынтегральной функции приведены в табл. 6.1.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector