Формула тейлора для логарифма

Формула тейлора для логарифма

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

Понятие ряда Тейлора.

Если функция (f(x)) определена в некоторой окрестности точки (x_<0>) и имеет в точке (x_<0>) производные всех порядков, то степенной ряд
$$
f(x_<0>) + sum_^<infty>frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^label
$$
называется рядом Тейлора функции (f) в точке (x_<0>).

Пусть функция (f) регулярна в точке (x_<0>), то есть представляется в некоторой окрестности точки (x_<0>) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = sum_^<infty>a_(x-x_<0>)^,quad |x-x_<0>| 0.label
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция (f) бесконечно дифференцируема в окрестности точки (x_<0>), причем коэффициенты ряда eqref
выражаются формулами
$$
a_ <0>= f(x_<0>),quad a_
= frac(x_<0>)>,quad n in mathbb.label
$$
Таким образом, степенной ряд для функции (f(x)), регулярной в данной точке (a), совпадает с рядом Тейлора функции (f) в точке (a).

Если известно, что функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (a) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора eqref сходится при (x
eq x_<0>) к функции (f(x)).

Рассмотрим функцию (f(x) = e^<-1/x^<2>>), (x
eq 0), (f(0) = 0). Эта функция определена на (R),
$$
f'(x) = frac<2><3>>e^<-1/x^<2>>, f″(x) = left(frac<4><6>>-frac<6><4>>
ight)e^<-1/x^<2>>quadmbox<при> x
eq 0,
onumber
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^<(n)>(x) = e^<-1/x^<2>> Q_ <3n>left(frac<1>
ight) mbox<при> x
eq 0,
onumber
$$
где (Q_<3n>(t)) — многочлен степени (3n) от (t). Воспользуемся тем, что (displaystylelim_
frac<1><|x|^>e^<-1/x^<2>>=0) для любого (k in mathbb) (решение можно посмотреть здесь), и докажем, что
$$
f^<(k)>(0) = 0 mbox<для любого> k in mathbb
.label
$$
Утверждение eqref
верно при (k = 1), так как (f'(0) = displaystylelim_
frac<2>>> = 0), откуда, предположив, что формула eqref справедлива при (k = n), находим
$$
f^<(n + 1)>(0) = lim_
frac(x)-f^<(n)>(0)> = lim_ frac<1> Q_ <3n>left(frac<1>
ight) e^<-1/x^<2>> = 0.
onumber
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство eqref, и поэтому все коэффициенты ряда Тейлора eqref в точке (x_ <0>= 0) для рассматриваемой функции равны нулю.

Так как (e^<-1/x^<2>>
eq 0) при (x
eq 0), то сумма ряда Тейлора для функции (f) не совпадает с (f(x)) при (x
eq 0). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки (x_ <0>= 0).

Причина этого явления становится понятной, если функцию (f) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция (f(z) = e^<-1/z^<2>>) не является непрерывной в точке (z = 0), так как (f(x) = e^<-1/x^<2>>
ightarrow 0) при (x
ightarrow 0), a (f(iy) = e^<1/y^<2>>
ightarrow +infty) при (y
ightarrow 0).

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (x_<0>). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд eqref. Обозначим
$$
S_(x) = sum_^frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^,label
$$
$$
r_
(x) = f(x)-S_(x)label
$$
и назовем (r_
(x)) остаточным членом формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_<0>). Если существует
$$
lim_ r_
(x) = 0,label
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд eqref
сходится к функции (f(x)) в точке (x), то есть
$$
f(x) = sum_^<infty>frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^.label
$$

Если функции (f(x)), (f'(x)), …, (f^<(n + 1)>(x)) непрерывны на интервале (Delta = (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)), где (delta > 0), то для любого (x in Delta) остаточный член формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_<0>) можно представить:

Читайте также:  Сетевой фильтр с автоматическим отключением

(circ) Формула eqref доказана в здесь. Докажем формулу eqref методом индукции. В силу равенств eqref и eqref нужно показать, что
$$
f(x)-f(x_<0>) = sum_^frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^ + frac<1> intlimits_<0>>^ (x-t)^f^<(n + 1)>(t) dt.label
$$

Воспользуемся равенством (displaystyleintlimits_<0>>^ f'(t) dt = f(x)-f(x_<0>)) и преобразуем его левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:
$$
intlimits_
<0>>^ f'(t) dt =-left.intlimits_<0>>^ f'(t)d(x-t) = [-f'(x)(x-t)]
ight|_>^ + intlimits_
<0>>^ (x-t)f″(t) dt =\= f'(x_<0>)(x-x_<0>) + intlimits_<0>>^ (x-t)f″(t) dt.
onumber
$$
Таким образом,
$$
f(x)-f(x_<0>) = f'(x_<0>)(x-x_<0>) + intlimits_
<0>>^ (x-t)f″(t) dt,
onumber
$$
то есть формула eqref верна при (n = 1). Предположим, что формула eqref является верной для номера (n-1), то есть
$$
f(x)-f(x_<0>) = sum_^frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^ + frac<1> <(n-1)!>intlimits_
<0>>^ (x-t)^f^<(n)>(t) dt.label
$$
Преобразуем интеграл в правой части формулы eqref
, применив формулу интегрирования по частям:
$$
frac<1> <(n-1)!>intlimits_
<0>>^ (x-t)^f^<(n)>(t) dt = -frac<1> intlimits_<0>>^ f^(t)dt((x-t)^) =\= left.left(-frac<1>f^(t)(x-t)^
ight)
ight|_>^ + frac<1> intlimits_
<0>>^(x-t)^f^<(n + 1)>(t) dt =\= frac<1>f^<(n)>(x_<0>)(x-x_<0>)^ + frac<1> intlimits_<0>>^(x-t)^f^<(n + 1)>(t) dt.
onumber
$$
Отсюда следует, что равенство eqref можно записать в виде eqref. Формула eqref доказана. (ullet)

Если функция (f) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (Delta = (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)), то есть
$$
exists M > 0: forall x in Delta
ightarrow |f^<(n)>(x)| leq M, n = 0,1,2,ldots,label
$$
то функция (f) представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала (Delta) рядом Тейлора eqref.

(circ) Пусть (x in (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)). Тогда, используя формулу eqref и условие eqref, получаем
$$
|r_(x)| leq M frac<|x-x_<0>|^><(n + 1)!>.label
$$

Так как (displaystylelim_ frac> = 0) для любого (a > 0) (пример разобран здесь), то из eqref следует, что выполняется условие eqref, то есть в точке (x) справедливо равенство eqref. (ullet)

Теорема 2 остается в силе, если условие eqref заменить следующим условием:
$$
exists M > 0 exists C > 0: forall x in Delta
ightarrow |f^<(n)>(x)| leq MC^, n = 0, 1, 2, ldots
onumber
$$

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки (x_ <0>= 0), то есть в ряд вида
$$
f(x) = sum_^<infty>frac(0)>x^,label
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты (displaystylefrac(0)>) разложения eqref
для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в разделе про формулу Тейлора.

Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = e^). Тогда для любого (x in (-
ho,
ho)), где (
ho > 0), выполняются неравенства
$$
0 0), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty). Так как для функции (f(x) = e^
) выполняются равенства (f(0) = 1), (f^<(n)>(0) = 1) для любого (n), то по формуле eqref получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции
$$
e^
= sum_^<infty>frac>,label
$$

Используя разложение eqref и формулы
$$
operatorname x = frac + e^<-x>><2>,quad operatorname x = frac-e^<-x>><2>,
onumber
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
operatorname
x = sum_^<infty>frac<2n>><2n!>,label
$$
$$
operatorname x = sum_
^<infty>frac<2n + 1>><(2n + 1)!>,label
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref, eqref
(R = +infty).

Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = sin x). Тогда (|f(x)| leq 1) и (|f^<(n)>(x)| leq 1) для всех (n in mathbb) и для всех (x in R). По теореме 2 ряд eqrefдля функции (f(x) = sin x) сходится для любого (x in (-infty, +infty)), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty).

Если (f(x) = sin x), то (f(0) = 0), (f^<(2n)>(0) = 0), (f'(0) = 1), (f^<(2n + 1)>(0) = (-1)^) для любого (n), и по формулеeqrefполучаем разложение синуса в ряд Маклорена:
$$
sin x = sum_<substack
>^ <infty>frac<(-1)^><(2n + 1)!>x^<2n + 1>.label
$$

Пусть (f(x) = cos x). Тогда (|f(x)| leq 1), (|f^<(n)>(x)| leq 1) для всех (n) и для всех (x in R), (f(0) = 1), (f'(0) = 0), (f^<(2n)>(0) = (-1)^) и, (f^<(2n + 1)>(0) = 0) для всех (n). По формуле eqref получаем
$$
cos x = sum_
^ <infty>frac<(-1)^><2n!>x^<2n>.label
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref и eqref
(R = +infty).

Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

(circ) Оценим остаточный член (r_(x)), пользуясь формулой eqref при (x_ <0>= 0). Преобразуем эту формулу, полагая (t = au x). Тогда (dt = x d au), (1-x =x(1- au)) и формула eqref примет вид
$$
r_
(x) = frac> intlimits_0^1 (1- au) f^<(n + 1)>( au x) d au.label
$$

Читайте также:  Инстаграм регистрация с компьютера на русском бесплатно

Если (f(x) = ln(x + 1)), то по формуле eqref, используя равенство eqref, получаем
$$
r_(x) = (-1)^x^ intlimits_0^1 frac<(1- au)^><(1 + au x)^> d au.label
$$

Пусть (|x| 1), то (displaystylelim_ frac><(1/|x|)^> = 0). Поэтому из соотношения eqref следует, что (r_(x)
ightarrow 0) при (n
ightarrow infty) для каждого (x in (-1, 1)), то есть справедливо равенство eqref, причем радиус сходимости ряда eqref в случае, когда (alpha
eq 0) и (alpha
otin mathbb
), равен 1. (ullet)

В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы eqref—eqref, eqref-eqref и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Разложить в ряд Маклорена функцию (f(x)) и найти радиус сходимости (R) ряда, если:

  1. ( riangle) Используя формулу eqref, получаем ряд
    $$
    frac<1><1 + x^<2>> = sum_^ <infty>(-1)^x^<2n>,label
    $$
    радиус сходимости которого (R = 1).
  2. Из равенства eqref следует, что (displaystylefrac<1><sqrt<1 + x^<2>>> = sum_^ <infty>C_<-1/2>^x^<2n>), где
    $$
    C_<-1/2>^
    = frac<displaystyleleft(-frac<1><2>
    ight)left(-frac<1><2>-1
    ight)ldotsleft(-frac<1><2>-(n-1)
    ight)>= frac<(-1)^
    1cdot3ldots(2n-1)><2^n!> = frac<(-1)^(2n-1)!!><2^n!>.
    onumber
    $$
    Следовательно,
    $$
    frac<1><sqrt<1 + x^<2>>> = 1 + sum_^ <infty>frac<(-1)^
    (2n-1)!!><2^n!>x^<2n>, R = 1.label
    $$
  3. Так как (f(x) = displaystylefrac<1>+ frac<1>= frac<1><displaystyle2left(1 + frac<2>
    ight)>-frac<1><displaystyle3left(1-frac
    <3>
    ight)>), то, применяя формулы eqref и eqref, получаем ряд
    $$
    frac<2x-1><2>-x-6> = sum_^ <infty>left(frac<(-1)^><2^>-frac<1><3^>
    ight)x^
    , R = 2. lacktriangle
    onumber
    $$

Разложить в ряд Маклорена функции
$$
operatorname x,
onumber
$$
$$
operatorname x,
onumber
$$
$$
ln(x + sqrt<1 + x^<2>>),
onumber
$$
и найти радиусы сходимости (R) рядов.

  1. ( riangle) Почленно интегрируя ряд eqref, получаем
    $$
    operatorname x = intlimits_0^x frac
    <1 + t^<2>> = sum_^ <infty>(-1)^ frac<2n + 1>><2n + 1>,quad R = 1.
    onumber
    $$

  2. Заменяя в формуле eqref (x^<2>) на (-x^<2>), получаем
    $$
    frac<1><sqrt<1-x^<2>>> = 1 + sum_^ <infty>frac<(2n-1)!!><2^n!>x^<2n>,quad R = 1.
    onumber
    $$
    откуда следует, что
    $$
    operatorname x = intlimits_0^x frac

    <1-t^<2>> = x + sum_^ <infty>frac<(2n-1)!!><2^

    n!(2n + 1)>x^<2n + 1>, R = 1.
    onumber
    $$

  3. Почленно интегрируя ряд eqref, получаем
    $$
    ln(x + sqrt<1 + x^<2>>) = intlimits_0^x frac
    <1 + t^<2>> = x + sum_^ <infty>frac<(-1)^(2n-1)!!><2^n!(2n + 1)>x^<2n + 1>, R = 1. lacktriangle
    onumber
    $$

Разложить в ряд Тейлора в точке (x_ <0>= 2) функцию (f(x) = ln(4 + 3x-x^<2>)).

( riangle) Так как (4 + 3x-x^ <2>= -(x-4)(x + 1)), то, полагая (t = x-2), получаем
$$
f(x) = ln(4-x)(x + 1) = g(t) = ln(2-t)(3 + t) = ln 6 + lnleft(1-frac<2>
ight) + lnleft(1 + frac
<3>
ight).
onumber
$$
Используя формулы eqref и eqref, отсюда находим
$$
g(t) = ln 6-sum_^ <infty>frac>> + sum_^ <infty>frac<(-1)^t^>>,quad |t|

Элементарные функции комплексного переменного.

Используя равенства eqref и формулы eqref, eqref, находим
$$
frac + e^<-iz>> <2>= cos z, frac-e^<-iz>> <2i>= sin z,label
$$
откуда следует, что
$$
e^
= cos z + i sin z.label
$$
Полагая в формуле eqref (z = z_<1>) и (z = z_<2>). и перемножая соответствующие ряды, можно показать, что
$$
e^<1>>e^<2>> = e^ <1>+ z_<2>>.label
$$

Пусть (z = x + iy), где (x in R), (y in R). Тогда из равенства eqref и формулы eqref находим
$$
e^ = e^ = e^(cos y + i sin y).label
$$
Из формулы eqref
следует, что
$$
e^
= e^,
onumber
$$
то есть (e^
) — периодическая функция с периодом (2pi i). Поэтому для каждого комплексного (z
eq 0) уравнение
$$
e^ = zlabel
$$
имеет бесконечное множество решений вида (w + i2pi n), где (w) — одно из решений уравнения eqref
, (n in Z).

Если (w = u + iv), то (z = e^ = e^(cos v + i sin v)), откуда получаем
$$
|z| = e^
,quad u = ln |z|,quad v = arg z.
onumber
$$

Пусть (varphi) — какое-нибудь значение аргумента числа (z). Тогда
$$
v = varphi + 2pi n, n in Z.
onumber
$$
Таким образом, все решения уравнения eqref, если их обозначить символом (operatorname z), задаются формулой
$$
operatorname
z = ln |z| + i(varphi + 2pi n),label
$$
где (varphi) — одно из значений аргумента числа (z) ((z
eq 0)), (n in Z).

По заданному значению (z) значение (w) из уравнения eqref определяется, согласно формуле eqref, неоднозначно (говорят, что логарифмическая функция (operatorname z) является многозначной).

Разложить в степенной ряд в окрестности точки (z = 0) функцию (f(z) = e^sin z).

( riangle) Используя формулы eqref и eqref, получаем
$$
f(z) = e^left(frac-e^<-iz>><2i>
ight) = frac<1><2i>(e^-e^).
onumber
$$
Так как (1 + i = sqrt<2>e^), (1-i = sqrt<2>e^<-ipi/4>), то по формуле eqref находим
$$
f(z) = sum_^ <infty>frac<2^> left(frac-e^<-ipi n/4>><2i>
ight)z^
,
onumber
$$
откуда в силу второго из равенств eqref
следует, что
$$
e^sin z = sum_^ <infty>frac<2^> sin frac<pi n><4>z^.
onumber
$$
Радиус сходимости ряда (R = +infty). (lacktriangle)

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a .

Связанные определения

  • В случае, если a = 0 , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

  • Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a .
  • Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a . Например:

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

  • Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точкиa , U(a,ε)
  • Пусть
  • Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x или при x > a :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

  • Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a , тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Маклорена некоторых функций

для всех

для всех и всех комплексных где

  • Kвадратный корень:

для всех для всех

  • Конечный геометрический ряд:

для всех

для всех для всех для всех для всех

для всех для всех для всех

Литература

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.
  • В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Д. Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», изд.: АЙРИС-пресс, 2002.

См. также

  • Ряд Фурье
  • Дельсарт, Жан Фридерик
  • Визуализация ряда Тейлора на сайте Сообщества свободного математического моделирования

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ряд Маклорена" в других словарях:

ряд Маклорена — Makloreno eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Maclaurin series vok. Maclaurinsche Reihe, f rus. ряд Маклорена, m pranc. série de Mac Laurin, f … Fizikos terminų žodynas

Маклорена ряд — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Ряд Тейлора — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

Ряд тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

МАКЛОРЕНА РЯД — (по имени К. Маклорена) частный случай Тейлора ряда … Большой Энциклопедический словарь

Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +. + q… … Большая советская энциклопедия

Маклорена ряд — (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда. * * * МАКЛОРЕНА РЯД МАКЛОРЕНА РЯД (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда (см. ТЕЙЛОРА РЯД) … Энциклопедический словарь

Маклорена ряд — исторически неправильное название (по имени К. Маклорена) степенного ряда вида: , где f(0), f’(0), f”(0), . f(n)(0). – значения заданной функции f(x) и её последовательных производных при х = 0. Этот ряд был … Большая советская энциклопедия

МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА — частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде где r п (х) остаточный член n го порядка, представимый в том или ином виде. Термин М.… … Математическая энциклопедия

РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector