Функция бесселя первого рода таблица

Функция бесселя первого рода таблица

Функции Бесселя первого рода

Функции Бесселя — это семейство функций, которые являются каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми Jα(x), являются решения, конечные в точке x=0 при целых или неотрицательных α. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α):

Дата публикации: 13.11.2017 2017-11-13

Статья просмотрена: 2446 раз

Библиографическое описание:

Сабурова В. И. Функции Бесселя и их свойства // Молодой ученый. — 2017. — №45. — С. 4-8. — URL https://moluch.ru/archive/179/46310/ (дата обращения: 23.03.2020).

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

Функцию Бесселя индекса можно определить рядом:

где — гамма–функция Эйлера.

Функция Бесселя представима в виде:

(3)

По признаку Даламбера ряд сходится равномерно при всех , , где и — произвольные числа. Так как члены ряда представляют собой целые функции по переменной при фиксированном и по переменной при фиксированном , то является целой функцией при любом комплексном и целой функцией при любом фиксированном комплексном .

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Для классических уравнений Бесселя с неотрицательным параметром и ограниченными в нуле решениями существуют рекуррентные соотношения вида:

и эти соотношения могут быть получены из общего вида классического уравнения Бесселя (1).

Также можно получить еще пару рекуррентных отношений, но для трех функций Бесселя:

Функции Бесселя первого рода

Функции Бесселя первого рода представляются в виде:

Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрицательного индекса :

где —гамма-функция Эйлера.

Если функции (7) и (8) являются функциями целого индекса, , то их связывает линейное соотношение

то есть они линейно зависимы и не могут быть выбраны в качестве фундаментальной системы уравнения Бесселя.

Если же k не является целым числом, и линейно независимы.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу , необходимо найти второе, линейно-независимое от , частное решение. Для этого вводится новая функция, называемая функцией Бесселя второго рода.

Функции Бесселя второго рода

Функция Бесселя второго рода имеет вид:

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

Функция Вебера (10) является решением уравнения (1) и при .

Очевидно, и являются линейно независимыми, следовательно, при любом образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Тогда решение уравнения (1) можно представить в виде их линейной комбинации:

Продифференцируем по ряд:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы дифференцирования:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы приведения:

  1. Свойство ортогональности функций Бесселя

Для любого k и любых корней функции верно равенство

  1. Если -нуль функции , то

Пример краевой задачи

Требуется определить закон колебаний круглой мембраны. Математическая модель свободных колебаний круглой мембраны радиуса с закреплённым краем имеет вид следующей краевой задачи для определения поперечного смещения мембраны:

Читайте также:  Ошибка операционной системы 5 отказано в доступе

где и — заданные смещения и скорость различных участков мембраны в начальный момент времени соответственно.

Решение этой задачи представляется в виде:

где и — функции Бесселя первого и второго рода

Функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

‒ Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

‒ Теплопроводность в цилиндрических объектах;

‒ Формы колебания тонкой круглой мембраны

‒ Распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

‒ Скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси и др.

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие / Сост.: В. И. Зубов. — М.: МФТИ, 2007. — 51 с.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: 2-e изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с.

Похожие статьи

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при .

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона.

Разрешимость одной краевой задачи для.

краевая задача, оператор, неравенство, непрерывный оператор, решение задачи, равенство, функция множества, любой, измеримая функция, вспомогательное утверждение.

Программирование разностного метода решения одной задачи.

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения. , , , (1).

, — заданные числа. Требуется найти функцию , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) в области и соответствующим условиям на ее границе.

Функции задач в обучении математике | Статья в журнале.

К числу общих обучающих функций задач относятся

2) Установление различных связей между понятиями (от рода к виду, внутри предметные и межпредметные связи и т. д.).

Обратная краевая задача с интегральными условиями для.

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл

Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Численная реализация разностного метода решения одной.

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения.

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2].

Читайте также:  Ноутбук acer travelmate 5623wsmi

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики для :

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

5. Вычисление спектра амплитуд и фаз периодических сигналов с помощью процедуры БПФ;

Есть файл в маткаде

Спектр мощности соответствует мощности, рассчитанной как квадрат амплитуды для каждой частоты, но не имеет никакой информации о начальной фазе. По­скольку спектр мощности теряет информацию о начальной фазе, можно попы­таться использовать БПФ, чтобы определить и частоту, и информацию о фазе сигнала.

Информация о начальной фазе, которую БПФ обеспечивает, есть фаза относи­тельно начала отсчета сигнала в области времени. Поэтому необходимо начинать выборку от некоторого момента в сигнале, чтобы получить непротиворечивые

сведения о начальной фазе. Колебание по закону синуса имеет начальную фазу, равную — 90°. Колебание по закону косинуса имеет начальную фазу, равную 0°. Обычно основным интересом для анализа спектра сигнала представляет измере­ние разности фаз между составляющими спектра или разности фаз между двумя гармоническими колебаниями, полученными одновременно. Можно рассмотреть разность фаз между двумя сигналами, используя некоторые из расширенных функций БПФ.

В результате БПФ получают двусторонний спектр в комплексной форме с реаль­ными и мнимыми частями. Необходимо масштабировать и преобразовать двусто­ронний спектр в полярную форму, чтобы получить амплитуду и фазу каждой гар­монической составляющей сигнала. Ось частоты полярной формы идентична оси частоты двустороннего спектра мощности.

Часто ДПФ применяется для наблюдения и анализа спектра сигнала.
При этомчасто наиболее интересными являются лишь амплитуды Ck отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (рис.2). Часто шкала частот градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Напри- мер, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно на 6 дБ. Формула для вычисления разницы в децибелах та-кова:

Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.

Перед вычислением спектра сигнала нужно выбрать отрезок сигнала, на кото- ром будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ. Коэффициенты

При вычислении спектра указанным образом возможен следующий нежела- тельный эффект. При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем, что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его.

Читайте также:  Фильтр для воды брита отзывы

Для устранения этого эффекта применяются так называемые взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участ- ка. Весовые окна имеют форму, похожую на гауссиан. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала. Виртуальное «зацикли- вание» происходит при ДПФ, так как алгоритм ДПФ полагает, что функция пе- риодическая. Существует множество весовых окон, названных в честь их соз- дателей. Все они имеют похожую форму и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. Мы приведем формулы двух хороших окон: Хэмминга (Hamming window) и Блэкмана (Blackman window) (рис. 1):

Здесь окно применяется к сигналу с индексами от 0 до N. Окно Хэмминга наи- более часто используется. Окно Блэкмана обладает более сильным действием по устранению рассмотренных искажений, однако имеет свои недостатки.


Рис. 1 Взвешивающие окна Хэмминга (верхнее) и Блэкмана (нижнее).

Важное свойство спектрального анализа заключается в том, что не существует одного, единственно правильного спектра какого-либо сигнала. Спектр можно вычислять с применением различных размеров БПФ и различных весовых окон. Для каждого конкретного приложения предпочтительно использовать свои способы. От выбора размера БПФ зависит разрешение спектра по частоте и по времени. Если выбрать длинный участок сигнала для разложения в спектр, то мы получим хорошее разрешение по частоте, но плохое по времени (т.к. спектр будет отражать усредненное поведение сигнала на всем участке взятия БПФ). Если для разложения в спектр выбрать короткий участок сигнала, то мы получим более точную локализацию по времени, но плохое разрешение по час- тоте (т.к. в преобразовании Фурье будет слишком мало базисных частот). В этом заключается фундаментальный принцип соотношения неопределенно- стей при вычислении спектра: невозможно одновременно получить хорошее разрешение спектра и по частоте, и по времени: эти разрешения обратно про- порциональны.

Еще одно важное свойство спектрального анализа заключается в том, что при разложении в спектр мы находим не те синусоидальные составляющие, из ко- торых состоял исходный сигнал, а лишь находим, с какими амплитудами нуж- но взять определенные кратные частоты, чтобы получить исходный сигнал. Другими словами, разложение проводится не по «частотам исходного сигна- ла», а по «базисным частотам алгоритма БПФ». Однако обычно (особенно при использовании весовых окон) этого почти не заметно по графику спектра, то есть график спектра достаточно адекватно отображает именно частоты исход- ного сигнала.

Рис. 2. Фрагменты различных сигналов (около 800 точек) и спектры более длинных отрезков этих сигналов (4096 точек). Сверху вниз: нота на форте- пиано, голос (пение), барабан (бочка), тарелка (открытый хэт).

6. Вычисление спектральной плотности импульсных сигналов с помощью БПФ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector