Математический маятник стальной шарик массой m

Математический маятник стальной шарик массой m

Математический маятник, грузик которого имеет массу m = 8 г, совершает малые колебания в поле силы тяжести с периодом T1 = 0,7 с. Грузик зарядили и включили направленное вниз однородное вертикальное электрическое поле, модуль напряжённости которого равен E = 3 кВ/м. В результате этого период колебаний маятника стал равным T2 = 0,5 с. Найдите заряд q грузика.

1. В первом случае период колебаний математического маятника равен где l — длина нити подвеса маятника.

2. Во втором случае период колебаний шарика в электрическом поле, направленном вниз, уменьшился, значит, сила натяжения нити подвеса увеличилась и заряд шарика — положительный.

3. При малых колебаниях математического маятника с грузиком массой m и с зарядом q в поле тяготения модуль F силы натяжения нити близок к mg + qE. Уравнение движения грузика в проекции на горизонтальную ось Х имеет вид: где — угол отклонения нити от вертикали, x — смещение грузика. Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний: или где Период этих колебаний равен

4. Из последнего уравнения находим заряд шарика маятника:

мкКл.

Ответ: мкКл.

Мы исследовали поведение пружинного маятника в постоянном силовом поле. Зададим тот же вопрос для математического маятника: как изменяется его поведение в постоянном силовом поле?

Попробуем отыскать закономерности в поведении маятника, не вникая в природу постоянного силового поля. Просто в каждой точке траектории на груз кроме силы тяжести действует некая постоянная сила . Будем считать, что нить маятника может свободно вращаться вокруг точки закрепления и, следовательно, занимать любое положение в пространстве.

Очевидно, что найдется такое положение, для которого равнодействующая всех приложенных к грузу сил будет равна нулю – это будет положение равновесия.

В скобках стоит постоянная величина, имеющая размерность ускорения.

Назовем эту величину напряженностью эффективного силового поля.

Поскольку сила натяжения нити всегда направлена вдоль нити, в положении равновесия она расположится параллельно вектору напряженности эффективного силового поля . Этот вектор по существу задает положение новой «вертикали», вдоль которой располагается нить маятника в положении равновесия. При выведении из положения равновесия маятник будет колебаться, но теперь уже относительно новой вертикали.

Для нахождения периода колебаний необходимо найти циклическую частоту. Сделать это возможно, получив уравнение гармонических колебаний. Очевидно, что с математической точки зрения мы получили известную задачу, решение которой нами уже найдено ранее. Разница лишь в том, что вместо вектора ускорения свободного падения в выражениях для циклической частоты и периода будет присутствовать вектор напряженности эффективного силового поля.

Итак, при попадании математического маятника в постоянное силовое поле у него

· изменяется положение равновесия (нить располагается вдоль вектора напряженности эффективного силового поля;

· изменяется период колебаний.

Важно помнить, что роль постоянной силы может играть сила инерции, действующая на маятник в НИСО. В этом случае

§ 3 Примеры решения задач

Задача 1 Математический маятник в невязкой жидкости

Определите период малых колебаний математического маятника длины L = 20 см, если он находится в жидкости с плотностью в n = 3 раза меньшей плотности материала шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.

1 Маятник находится в постоянном силовом поле – в каждой точке траектории на него кроме силы тяжести действует выталкивающая сила , модуль которой

2 Напряженность эффективного силового поля направлена вниз и численно равна .

3 Период колебаний маятника в постоянном силовом поле

Задача 2 Отставание маятниковых часов

Одно из самых высоких мест на Земле, где живут люди, — монастырь в Гималаях – находится на высоте 5200 м над уровнем моря. На сколько будут отставать за сутки маятниковые часы в этом монастыре, если их выверили на уровне моря? Радиус Земли 6400 км.

Читайте также:  Часы на экране компьютера бесплатно

1 «Правильный» период маятниковых часов на уровне моря .

2 Период часов на высоте 5200 м .

3 За сутки «неправильные» часы делают колебаний, где Показания часов после N колебаний будут равны , ибо часы проградуированы в «правильных» периодах.

4 Отставание часов

Задача 3 Полная энергия вертикального пружинного маятника

Небольшой шарик, подвешенный на легкой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой 2 см. Полная энергия колебаний 0,3 мДж. При каком смещении от положения равновесия на шарик действует возвращающая сила 22,5 мН?

1 В процессе колебаний на шарик действуют две силы – тяжести и упругости. Поэтому потенциальная энергия системы будет складываться из потенциальной энергии груза в поле тяготения и потенциальной энергии упруго деформированной пружины , где — величина деформации пружины.

Полная механическая энергия системы, сохраняющаяся в процессе движения маятника, имеет вид:

2 Абсолютное значение потенциальной энергии в поле тяготения может быть различным – оно зависит от выбора нулевого уровня для отсчета высоты . Соответственно полная механическая энергия системы может принимать любые значения, зависящие от выбора нулевого уровня для отсчета высоты . О какой энергии в 0,3 мДж идет речь в задаче?

3 В положении равновесия сила упругости уравновешивает силу тяжести

где — величина растяжения пружины в положении равновесия.

4 Введем систему отсчета, направив координатную ось вертикально вверх. Ноль на оси ОХ поставим в положении равновесия груза. Нулевой уровень для отсчета высоты h тоже выберем в положении равновесия. При таком выборе нулевого уровня координата груза x и высота h будут совпадать x = h.

5 Выведем маятник из положения равновесия, сместив его в положительном направлении оси ОХ.

Полная механическая энергия системы в этом случае равна:

где — растяжение пружины в рассматриваемом положении.

После преобразований получаем:

Поскольку величина постоянна, то сумма тоже постоянна с течением времени, хотя отдельные ее слагаемые постоянно изменяются.

Сумму называют энергией колебаний вертикального пружинного маятника. По своему виду эта величина совпадает с полной энергией горизонтального пружинного маятника . Однако, если для горизонтального маятника величина является потенциальной энергией упруго деформированной пружины, то для вертикального маятника величина потенциальной энергией пружины уже не является, ибо деформация пружины и координата груза х теперь не совпадают .

6 В крайнем положении груз останавливается, следовательно, . Находим жесткость пружины .

7 Возвращающая квазиупругая сила имеет вид

,

где х – координата груза. Тогда координата груза равна . Два ответа означают, что в двух симметричных относительно положения равновесия точках возвращающая сила по модулю равна 22,5 мН. Их направления, естественно, противоположны.

§ 4 Задания для самостоятельного решения

Тест «Маятники в постоянных силовых полях и НИСО»

1 Вертикальный пружинный маятник состоит из груза массы m и пружины жесткостью k. Чему равна деформация пружины в положении равновесия маятника?

А) Б) В) Г) 0.

2 Груз массы mприкрепили к пружине жесткостью kи удерживают так, чтобы пружина оставалась в недеформированном состоянии. Груз без толчка отпускают. Чему равна амплитуда возникших колебаний?

А) Б) В) Г) Колебания не возникнут.

3 Какой из маятников колеблется с наибольшей частотой?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) Частота колебаний всех маятников одинакова.

4 Вертикальный пружинный маятник находится в неподвижном лифте. Как изменится период колебаний маятника, если лифт начнет разгоняться вверх?

Читайте также:  Citrix не удается выполнить запрос

В) Останется неизменным;

Г) Ответ зависит от величины ускорения, с которым движется лифт.

5 Идеальный пружинный маятник колеблется на горизонтальной гладкой поверхности. Как изменится период колебаний маятника, если поверхность будет шероховатой?

В) Останется неизменным;

Г) Ответ зависит от массы груза, жесткости пружины и коэффициента трения

6 Чему равен период колебаний математического маятника, расположенного в вертикальном однородном электрическом поле напряженностью ? Груз маятника заряжен положительно.

А) Б) В) Г)

7 Чему равен период колебаний математического маятника, расположенного в однородном горизонтальном электрическом поле напряженностью ?

А) Б) В) Г)

8 Математический маятник находится в лифте. Как рассчитать период колебаний маятника в следующих ситуациях?

А) Б) В)

9 Математический маятник длиной l находится в вагоне поезда, разгоняющегося с ускорением . Как располагается нить маятника в положении равновесия?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 5.

10 Математический маятник длиной l находится в вагоне поезда, разгоняющегося с ускорением . Чему равен период колебаний маятника?

А) ; Б) ; В) ; Г) .

1 Определите период малых колебаний математического маятника длины L = 20 см, если он находится в жидкости с плотностью в n = 3 раза меньшей плотности материала шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.

2 Математический маятник – железный шарик массы m, висящий на длинной нити, — имеет период Т. В присутствии магнита, расположенного чуть ниже шарика, период колебаний стал Т. Определите действующую на шарик магнитную силу.

3 Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, что на него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое положение равновесия шарика, если период его малых колебаний после включения магнитного поля стал равным Т.

4 Тяжелая тележка скатывается с ускорением а с наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найдите период колебаний маятника длины L, установленного на тележке.

5 Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью W. Как зависит период колебаний маятника длины L от расстояния R точки подвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.

6 Шарик массы m, насаженный на стержень, вращается с угловой скоростью W вокруг оси О, с которой он соединен легкой пружиной жесткости k. Определите частоту колебаний шарика вдоль пружины? Всегда ли возможно колебательное движение?

Цель работы: Изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.

Оборудование: лабораторная установка.

Период малых колебаний физического маятника (см. работу № 6) равен:

(1)

где Io – момент инерции маятника относительно оси ОО качаний, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.

Исследуемый в лабораторной

установке маятник схематически изо-

бражен на рис. 1. Он представляет со-

бой стальной шарик радиусом r на би-

филярном подвесе: тонкая нить пропу-

щена через центр шарика, концы нити

закреплены на стойке. Длина подвеса

может регулироваться в пределах от

нескольких сантиметров до примерно

25 см. Период колебаний с высокой

(до 10-4с) точностью измеряется с

помощью электронного секундомера.

Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси ОО в виде:

Читайте также:  Айон ошибка 20 при запуске

Io = Iс + ma2 = 2mr2/5 + ma2 (2)

Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса-Штейнера, если учесть, что момент инерции Iс однородного шара радиусом r и массой m относительно оси, проходящей через центр шара, равен

Рассмотрим случай, когда радиус шара мал по сравнению с длиной подвеса (случай математического маятника): r a. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым Iс = 2mr2/5 по сравнению с ma2 и положить:

В этом приближении Io определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью

ΔIсист /Io = (2mr2/5)/(ma2 ) = (2r2)/(5a2 ) (4)

которую в условиях эксперимента легко оценить (она равна, примерно, 0,5%).

С учетом (3) период колебаний маятника может быть записан в виде:

(5)

Он, как должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого равна а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:

Соотношение (6) позволяет опытным путем определить значение ускорения свободного падения в нашей лаборатории. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний Т маятника и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6) и оценить точность полученного значения.

Однако, прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.

Дело в том, что выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:

маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний); затуханием колебаний можно пренебречь

Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3-5о) и большой (30-45о) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника при различных значениях амплитуды в пределах от 2-3о до 10-15о.

Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ΔТ к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.

В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости V его движения:

где b > 0 – коэффициент пропорциональности.

Период T колебаний маятника несколько увеличивается, а частота

ω = 2π/T колебаний уменьшается по сравнению с частотой ωo = 2π/To колебаний маятника без трения:

(7)

(8)

Здесь σ — коэффициент затухания, который выражается через число колебаний N (обычно это достаточно большое число), за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз:

Из соотношений (7) – (9) находим

(10)

(11)

ΔT/T = (T – To)/T ≈ 1/(8π2N2) (12)

Видно, что уже при N ≈ 10 эта поправка меньше, чем 10-3 (т. е. меньше 0,1 %) и ею можно пренебречь.

Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8 – 10 значений амплитуды θ в пределах от 0 до 30о. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1 %; 0,5 %; 1 %.

Ссылка на основную публикацию
Куосера пишет неоригинальный картридж
Современные принтеры японской компании Kyocera, которые были разработаны после 2013 года оснащены специальным механизмом. Он определяет количество тонера в картридже...
Колода из 36 карт состав
«В» = «J» — walet, Jopek [ва́лет, йо́пэк] «Д» = «Q» — dama [да́ма] «К» = «K» — król [круль]...
Компьютер не видит микрофон wo mic
Программа wo mic разработана для использования на самых популярных операционных системах для настольных компьютеров. Авторская идея состоит в том, чтобы...
Листы для морского боя распечатать
Игра “морской бой” остаётся популярной во все времени. Для того, чтобы играть в Морской бой необходимы две карточки, на которых...
Adblock detector