Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций

Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .

sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
1 — cos ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x ) 2 2
ln ( 1 + α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
α α ( x ) — 1 эквивалентна α ( x ) ln α
1 + α ( x ) p — 1 эквивалентна p α ( x )
1 + α ( x ) 1 p — 1 эквивалентна α ( x ) p

Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .

Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Запишем предел вида

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )

Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .

Предел принимает вид

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1

Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

Вычислить предел функции lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 .

Производится подстановка значений

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 1 — cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = " open=" 0 0

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 — cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 — cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = " open=" 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2

Читайте также:  Как включить загрузку uefi

Что такое бесконечные малые функции

Функции являются бесконечно малыми, если при стремлении x к точке а их предел равен 0.

Однако бесконечно малой функция может быть только в конкретной точке. Как показано на рисунке 1, функция бесконечно мала только в точке 0.

Рисунок 1. Бесконечно малая функция

Если предел частного двух функций в результате дает 1, функции называются эквивалентными бесконечно малыми при стремлении х к точке а.

Если функции f(x), g(x) бесконечно малые при $х > а$, то:

  • Функция f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x), если выполняется условие: [mathop<lim >limits_ frac=0]
  • Функция f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x), если отличен от 0 и конечен предел: [mathop<lim >limits_ frac(x)> =A]

Функция $y=х^3$ является бесконечно малой высшего порядка при х>0, в сравнении с функцией y=5x, так как предел их отношения равен 0, это объясняется тем, что функция $y=х^3$ стремится к нулевому значению быстрее:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Функции y=x2-4 и y=x2-5x+6 являются бесконечно малыми одного порядка при х>2, так как предел их отношения не равен 0:

Свойства эквивалентных бесконечно малых

  1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
  2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут стать приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак ≈ применяется как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

При нахождении пределов очень часто приходится применять замену эквивалентных функций для быстроты и удобства вычислений. Таблица эквивалентных бесконечно малых представлена ниже (табл.1).

Эквивалентность бесконечно малых приведенных в таблице можно доказать, опираясь на равенство:

Замена эквивалентных величин

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Докажем эквивалентность бесконечно малых ln(1+x) и x.

  1. Найдем предел отношения величин [mathop<lim >limits_ frac<ln (1+x)>]
  2. Для этого применим свойство логарифма: [frac<ln (1+x)>=frac<1>ln (1+x)=ln (1+x)^<frac<1>> ] [mathop<lim >limits_ frac<ln (1+x)>=mathop<lim >limits_ ln (1+x)^<frac<1>> ]
  3. Зная, что логарифмическая функция непрерывна в своей области определения, можно поменять местами знак предела и логарифмической функции: [mathop<lim >limits_ frac<ln (1+x)>=mathop<lim >limits_ ln (1+x)^<frac<1>> =ln left(mathop<lim >limits_ (1+x)^<frac<1>>
    ight)]
  4. Поскольку х — бесконечно малая величина, предел стремиться к 0. Значит: [mathop<lim >limits_ frac<ln (1+x)>=mathop<lim >limits_ ln (1+x)^<frac<1>> =ln left(mathop<lim >limits_ (1+x)^<frac<1>>
    ight)=ln e=1]

(применили второй замечательный предел)

Ответ: равенство частного единице доказывает эквивалентность величин.

    Вычислим предел стандартным способом: [mathop<lim >limits_ frac<1-cos (3x)><2x^<2>> =frac<1-cos (3*0)><2*0^<2>> =leftlangle frac<0><0>
    ight
    angle ]

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Читайте также:  Pci ven 10de dev 0fc6 subsys 0fc61569

Определения

Определение о малого
Символом о малое обозначают любую бесконечно малую функцию o ( f ( x )) по сравнению с заданной функцией f ( x ) при аргументе, стремящемся к некоторому конечному или бесконечному числу x .

Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при :
при
(читается: « есть о малое от при »),
если существует такая проколотая окрестность точки , на которой
при ,
где – бесконечно малая функция при :
.

Заметим, что просто бесконечно малая функция при является бесконечно малой по сравнению с постоянной функцией, не равной нулю.

Если, в предыдущем определении, f является бесконечно малой функцией при , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем f при .

Определение О большого
Символом О большое обозначают любую функцию , ограниченную относительно функции при аргументе, стремящемся к некоторому конечному или бесконечному числу x .

Функция f ограничена относительно функции g при x → x :
при
(читается: « есть О большое от при »),
если функции f и g определены на некоторой проколотой окрестности точки и существует такое число C , что на этой окрестности выполняется неравенство:
.

Просто ограниченная, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является ограниченной по сравнению с постоянной функцией, не равной нулю.

Функции f и g называются функциями одного порядка при :
при ,
если и при .

Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Свойства и теоремы

Теорема. Свойства о малого
1) Если , то при .
2) Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и , то
.
3.1) , где c ≠ 0 – постоянная.
3.2) ;
3.3) .
Доказательство ⇓

Свойства о малого, применяемые в степенных рядах
Здесь m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Свойства эквивалентных функций
1) Свойство симметрии. Если, при , , то .
2) Свойство транзитивности. Если, при , и , то .
3) Если , то при .
Доказательство ⇓

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым
Для того чтобы две функции и были эквивалентными (или асимптотически равными), необходимо и достаточно чтобы при выполнялось условие:
.
Доказательство ⇓

Это свойство часто записывают так:
.
При этом говорят, что является главной частью при . При этом главная часть определена не однозначно. Любая эквивалентная функция является главной частью к исходной.
В силу свойства симметрии:
.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство ⇓

В силу свойства симметрии эквивалентных функций, если не существует один из этих пределов, то не существует и другой.

Поскольку любая функция, определенная на некоторой проколотой окрестности точки , эквивалентна самой себе, то существуют пределы
.

Заменив функции g и g 1 на 1/ g и 1/ g 1 , получим аналогичную теорему для произведения.
Если, при , и , то
.
Это означает, что если существует один предел, то существует и другой. Если не существует один из этих пределов, то не существует и второй.

Лемма. Признак функций одного порядка
Если существует конечный ненулевой предел
(Л1.1) ,
то функции f и g одного порядка при :
при .
Доказательство ⇓

Читайте также:  Люди похожие на меня внешностью найти

Доказательство свойств и теорем

Теорема. Свойства о малого

Пусть . Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой определено отношение и поэтому . Тогда на этой окрестности
,
где . По условию
.
Тогда .
Свойство 1) доказано.

2) Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и , то
.

Поскольку , то на рассматриваемой проколотой окрестности точки ,
.
Поскольку , то
.
Свойство 2) доказано.

3.1) , где c ≠ 0 – постоянная.
3.2) ;
3.3) .

3.1). Пусть . Согласно определению о малого,
,
где . Введем функцию . Тогда
.
Поскольку , то
.
Свойство 3.1) доказано.

3.2). Докажем, что .
Пусть . Согласно определению о малого,
,
где .
Тогда ,
где . Поскольку
, то
.
Свойство 3.2) доказано.

3.3). Докажем, что .
Пусть . Согласно определению о малого,
,
где ,
.
Согласно арифметическим свойствам предела функции,
.
Тогда .
Свойство 3.3) доказано.

Эквивалентные функции

Свойства эквивалентных функций

Все формулировки ⇑ 1) Свойство симметрии. Если, при , , то .

Поскольку при , , то согласно определению эквивалентной функции, существует такая проколотая окрестность точки , на которой
,
где .
Поскольку функция имеет отличный от нуля предел, то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Поэтому на этой окрестности . Следовательно, на ней определена функция . Тогда
.
Согласно теореме о пределе частного двух функций,
.
Свойство доказано.

2) Свойство транзитивности. Если, при , и , то .

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым

Все формулировки ⇑ Для того чтобы две функции и были эквивалентными (или асимптотически равными), необходимо и достаточно чтобы при выполнялось условие:
.

1. Необходимость. Пусть функции и являются эквивалентными при . Тогда
.
Поскольку , то
.
Тогда .
Необходимость доказана.

2. Достаточность. Пусть при ,
.
Тогда , где . Отсюда
.
Поскольку , то
.
Теорема доказана.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Все формулировки ⇑ Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.

Пусть, при , и . Тогда
, где
.
Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля. Поскольку , то, по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такая проколотая окрестность точки , на которой и, следовательно, . Тогда существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля и, следовательно, определено частное :
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Признак функций одного порядка

Все формулировки ⇑ Лемма
Если существует конечный ненулевой предел
(Л1.1) ,
то функции f и g одного порядка при :
при .

Поскольку существует предел (Л1.1), то по теореме о пределе абсолютного значения функции, существует предел
.
Тогда согласно определению предела функции по Коши, для любого , существует такая проколотая окрестность точки , на которой
при .

Преобразуем неравенство и подставим :
;
;
(Л1.2) .
Из второго неравенства:
,
или .
Из первого неравенства (Л1.2):
,
или .

Использованная литература.
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 15-04-2019 Изменено: 29-04-2019

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector