Сила натяжения нити на горизонтальной поверхности

Сила натяжения нити на горизонтальной поверхности

Динамика: движения системы связанных тел.

Проецирование сил нескольких объектов.

Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью

Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.

А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Движение происходит только на оси X.

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T ₁ и Т ₂.

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

Задача 3 . Через неподивжный блок перекинуты нить, к которой подвешены три одинаковых груза (два с одной стороны и один с другой) массой 5 кг каждый. Найти ускорение системы. Какой путь пройдут грузы за первые 4 с движения?

В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.

Вычтем из первого уравнения второе:

Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):

(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)

Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.

Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):

Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:

Читайте также:  Труп невесты кто снял

Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:

Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:

Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:

Сложим уравнения и сократим на массу:

Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:

А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:

Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:

Получили, что отношение масс должно быть таким:

Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:

Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Понятие силы натяжения нити

Пусть тело прикреплено к нити, тогда силой натяжения нити называют силу, действующую на рассматриваемое тело, равную по величине и противоположную по направлению равнодействующей, приложенной к нити. Силу натяжения нити обозначают по-разному, чаще всего: $overline$, $overline, overline$. Если равнодействующую, приложенную к нити обозначить как $overline$, то в соответствии с третьим законом Ньютона имеем:

Сила натяжения нити является реакцией подвеса (нити), на действие со стороны тела на подвес. Сила натяжения нити всегда имеет направление вдоль нити.

Очень часто при решении задач указывают, что нить является невесомой (массой нити в сравнении с массой груза можно пренебречь). Если нить невесома и нерастяжима, то такую нить рассматривают как проводник силы.

Если следует учитывать растяжение нити, при этом нагрузки малы, а нить упругая, то при вычислении силы натяжения используют закон Гука:

Читайте также:  Изменение системных параметров параметры вашего оборудования изменились

где $<overline>_u$ — сила упругости нити;$ k$ — коэффициент упругости нити; $Delta l$ — удлинение нити.

Единицей измерения силы натяжения нити в Международной системе единиц (СИ) (как и для любой другой силы) является ньютон:

Примеры задач на силу натяжения нити

Задание. Какой будет сила натяжения нерастяжимой нити, связывающей два груза находящихся на горизонтальной гладкой поверхности (рис.1), если массы грузов равны $m_1$ и $m_2. $К одному из грузов приложена горизонтальная сила $F.$ Трение брусков о поверхность не учитывать. Нить считать невесомой.

Решение. Рассмотрим силы, которые приложены к первому грузу, запишем второй закон Ньютона для этого тела:

$m_1overline$ — сила тяжести, действующая на первый груз; $<overline>_1$ — сила реакции горизонтальной опоры; $<overline>_1$ — сила натяжения нити.

Проектируя на оси X и Y уравнение (1.1) получаем:

[left< egin X:F-T_1=m_1aleft(1.2
ight). \ m_1g=N_1left(1.3
ight). end

ight.]

Рассмотрим силы, действующие на второй груз, запишем второй закон Ньютона для этих сил:

В проекциях на оси X и Y получаем систему уравнений:

[left< egin X:T_2=m_2aleft(1.5
ight). \ m_2g=N_2left(1.6
ight). end

ight.]

Так как нить считаем невесомой, то имеем:

Из уравнения (1.5) выразим ускорение и подставим его в (1.2)получим величину силы натяжения нити:

Задание. К нерастяжимой нити подвешен массивный шарик. Шарик подняли так, что нить приняла горизонтальное положение, затем шарик отпустили. Какова сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия? Какой угол составляет нить с вертикалью, если сила натяжения равна силе тяжести, действующая на шарик?

Решение. Сделаем рисунок.

1) Силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия (положение А на рис.2): сила тяжести и сила натяжения нити. Для них запишем второй закон Ньютона:

Запишем проекцию выражения (2.1) на ось Y:

где шарик движется с центростремительным ускорением, равным:

$l$ — длина нити; $v$ — величина скорости движения шарика в точке А.

Скорость $v$ найдем из закона сохранения энергии (см. рис.2 $h=l$), который запишем для положений B (максимальная потенциальная энергия шара) и A (максимальная кинетическая энергия шара):

Выразим силу натяжения нити из (2.2), подставим найденное ускорение, учитывая (2.4):

Ось Y направим по нити, ось X перпендикулярно оси Y (рис.3).

Запишем проекцию уравнения (2.1) на новую ось Y:

Выразим силу натяжения нити:

Учитывая (2.3), получим:

Потенциальная энергия шарика в положении C равна $E_p=mgl<cos alpha >$, она переходит полностью в кинетическую энергию положения А ($E_k=mfrac<2>$):

Из (2.6) выразим $v^2$, имеем:

Подставим результат (2.9) в формулу (2.7), получили:

Приравниваем по условию силу натяжения нити к силе тяжести, выражаем величину угла:

Ответ. 1) $N=3mg$. 2) $alpha =arc<cos frac<1><3> >$

В любой механической системе присутствует ограниченный набор сил и взаимодействий.

Основные силы в механике:

1. Закон всемирного тяготения (рис. 1):

Рис. 1. Закон всемирного тяготения

Или в случае модуля силы:

  • где
  • — сила взаимодействия между телами, обладающими массу
  • , — массы взаимодействующих тел
  • — расстояние между центрами взаимодействующих тел.

Направление: по линии, соединяющей взаимодействующие тела.

Возникает: данная сила возникает при взаимодействии любых массовых частиц (рис. 1).

Используется: в задачах, в которых одно из тел (или оба) являются планетами и/или спутниками.

2. Сила тяжести в рамках Земли (рис. 2).

Рис. 2. Сила тяжести

Представим себе, что в законе всемирного тяготения (1) взаимодействуют Земля и тело вблизи поверхности Земли.

  • — масса Земли
  • — масса тела вблизи поверхности Земли
  • — средний радиус Земли
Читайте также:  Как защитить подошву обуви

Тогда . Т.к. масса Земли, средний радиус Земли и гравитационная постоянная — величины известные, то посчитаем:

м/ . Давайте назовём эту константу через м/ . Мы аналитически получили ускорение свободного падения.

Таким образом, сила гравитационного притяжения для тела на Земле мы можем представить как:

Направление: всегда к центру Земли.

Возникает: при взаимодействии любого тела вблизи поверхности Земли и самой Земли.

Используется: в задачах, в которых тело находится вблизи поверхности Земли.

Рис. 3. Сила нормальной реакции опоры

3. Сила нормальной реакции опоры. Данная сила возникает при взаимодействии тела с опорой (тело лежит или движется по опоре). Обычно обозначается . Направление данной силы — перпендикуляр к опоре (рис. 3).

Направление: всегда перпендикулярно опоре.

Возникает: при касании тела любой поверхности (стол, стена).

Используется: в задачах, в которых тело движется или покоится, взаимодействуя с опорой.

Рис. 4. Сила трения

4. Сила трения (рис. 4). Сила трения — сила, возникающая при движении (скольжении) одного тела относительно другого. Физически, данная сила возникает в связи с механическими «цепляниями» неоднородностей (шероховатостей) поверхностей одного тела за неоднородности другого. Данная сила всегда направлена против текущего движения (против скорости).

Для описания силы трения вводят коэффициент трения . Данный коэффициент описывает степень взаимодействия системы тело-подложка. Коэффициент имеет ограничения: . При сила трения отсутствует.

Также в задаче могут быть фразы «силы трения нет», «гладкая поверхность», «силами трения пренебречь». Всё это говорит об отсутствии силы трения.

Нахождению силы трения способствует соотношение:

Направление: против скорости.

Возникает: при скольжении тела относительно негладкой (шероховатой) поверхности.

Используется: в задачах, в которых тело движется (увлекается в движение) относительно поверхности (сама поверхность при этом негладкая).

Рис. 5. Сила натяжения нити

5. Сила натяжения нити. Сила натяжения нити — сила, действующая на тело со стороны привязанной к нему нити (рис. 5). Направлена всегда вдоль нити.

Направление: по линии нити.

Возникает: данная сила возникает при наличии в задаче нити.

Используется: в задачах, в которых присутствует нить (при этом за неё обычно тянут). В большинстве таких задач несколько тел связаны невесомой нерастяжимой нитью.

6. Сила растяжения/сжатия (закон Гука, сила упругости). Возникает в деформированном теле, стремится возвратить тело в изначальную форму. Направлена против деформации. Пусть тело под действием некой силы удлинилось на величину (рис. 6).

Рис. 6. Сила упругости

Тогда сила упругости, возникшая в теле:

  • где
  • — модуль Юнга (табличная величина, характеризующая материал тела)
  • — площадь поперечного сечения тела
  • — начальная длина тела.

Направление: против деформации тела.

Возникает: при деформации тела.

Используется: в задачах, где тело (пружина) деформирована. Часто деформация задаётся удлинением тела.

7. Силы, заданные задачей. В задаче может присутствовать ряд сил, которые будут описаны в тексте. Чаще всего это силы, вызывающие движение (сила тяги мотора) или тормозящие (силы сопротивления воздуха, воды).

Вывод: для огромного ряда задач на динамику, при использовании второго закона Ньютона, необходимо знать, какие силы действуют на выбранное тело. Анализируя приведенные силы, условия их возникновения и направление действия, можно легко решить поставленную задачу.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector