Синус угла в прямоугольном треугольнике это

Синус угла в прямоугольном треугольнике это

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Читайте также:  Как открыть слот для сим карты xiaomi

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона ( AC ) ); катеты – это две оставшиеся стороны ( AB ) и ( BC ) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла ( BC ) , то катет ( AB ) – это прилежащий катет, а катет ( BC ) — противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла ( eta ) . По определению, из треугольника ( ABC ) : ( cos eta =dfrac=dfrac<4><6>=dfrac<2> <3>) , но ведь мы можем вычислить косинус угла ( eta ) и из треугольника ( AHI ) : ( cos eta =dfrac=dfrac<6><9>=dfrac<2> <3>) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника ( ABC ) , изображённого ниже на рисунке, найдём ( sin alpha , cos alpha , tg alpha , ctg alpha ) .

( eginsin alpha =dfrac<4><5>=0,8\cos alpha =dfrac<3><5>=0,6\tg alpha =dfrac<4><3>\ctg alpha =dfrac<3><4>=0,75end )

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла ( eta ) .

Ответы: ( sin eta =0,6; cos eta =0,8; tg eta =0,75; ctg eta =dfrac<4> <3>) .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным ( 1 ) . Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Читайте также:  Украденные фото хакеров голых российских знаменитостей

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси ( x ) (в нашем примере, это радиус ( AB ) ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси ( x ) и координата по оси ( y ) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ( ACG ) . Он прямоугольный, так как ( CG ) является перпендикуляром к оси ( x ) .

Чему равен ( cos alpha ) из треугольника ( ACG ) ? Всё верно ( cos alpha =dfrac ) . Кроме того, нам ведь известно, что ( AC ) – это радиус единичной окружности, а значит, ( AC=1 ) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен ( sin alpha ) из треугольника ( ACG ) ? Ну конечно, ( sin alpha =dfrac ) ! Подставим значение радиуса ( AC ) в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка ( C ) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что ( cos alpha ) и ( sin alpha ) — это просто числа? Какой координате соответствует ( cos alpha ) ? Ну, конечно, координате ( x ) ! А какой координате соответствует ( sin alpha ) ? Всё верно, координате ( y ) ! Таким образом, точка ( C(x;y)=C(cos alpha ;sin alpha ) ) .

А чему тогда равны ( tg alpha ) и ( ctg alpha ) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что ( tg alpha =dfrac<sin alpha ><cos alpha >=dfrac ) , а ( ctg alpha =dfrac<cos alpha ><sin alpha >=dfrac ) .

А что, если угол будет больше ( 90<>^circ =dfrac<pi > <2>) ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате ( y ) ; значение косинуса угла – координате ( x ) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси ( x ) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет ( 360<>^circ ) или ( 2pi ) . А можно повернуть радиус-вектор на ( 390<>^circ ) или на ( -1140<>^circ ) ? Ну конечно, можно! В первом случае, ( 390<>^circ =360<>^circ +30<>^circ ) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении ( 30<>^circ ) или ( dfrac<pi > <6>) .

Во втором случае, ( -1140<>^circ =-360<>^circ cdot 3-60<>^circ ) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении ( -60<>^circ ) или ( -dfrac<pi > <3>) .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на ( 360<>^circ cdot m ) или ( 2pi cdot m ) (где ( m ) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол ( eta =-60<>^circ ) . Это же изображение соответствует углу ( -420<>^circ ,-780<>^circ , 300<>^circ ,660<>^circ ) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой ( eta +360<>^circ cdot m ) или ( eta +2pi cdot m ) (где ( m ) – любое целое число)

( egin-420<>^circ =-60+360cdot (-1);\-780<>^circ =-60+360cdot (-2);\300<>^circ =-60+360cdot 1;\660<>^circ =-60+360cdot 2.end )

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

( eginsin 90<>^circ =?\cos 90<>^circ =?\ ext 90<>^circ =?\ ext 90<>^circ =?\sin 180<>^circ =sin pi =?\cos 180<>^circ =cos pi =?\ ext 180<>^circ = ext pi =?\ ext 180<>^circ = ext pi =?\sin 270<>^circ =?\cos 270<>^circ =?\ ext 270<>^circ =?\ ext 270<>^circ =?\sin 360<>^circ =?\cos 360<>^circ =?\ ext 360<>^circ =?\ ext 360<>^circ =?\sin 450<>^circ =?\cos 450<>^circ =?\ ext 450<>^circ =?\ ext 450<>^circ =?end )

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Читайте также:  Служба технической поддержки эппл

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в ( 90<>^circ =dfrac<pi > <2>) соответствует точка с координатами ( left( 0;1
ight) ) , следовательно:

( ext 90<>^circ =dfrac=dfrac<1><0>Rightarrow ext 90<>^circ ) — не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в ( 180<>^circ , 270<>^circ , 360<>^circ , 450<>^circ (=360<>^circ +90<>^circ ) ) соответствуют точки с координатами ( left( -1;0
ight), ext< >left( 0;-1
ight), ext< >left( 1;0
ight), ext< >left( 0;1
ight) ) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

( displaystyle sin 180<>^circ =sin pi =0 )

( displaystyle cos 180<>^circ =cos pi =-1 )

( ext 180<>^circ = ext pi =dfrac<-1><0>Rightarrow ext pi ) — не существует

( ext 270<>^circ =dfrac<-1><0>Rightarrow ext 270<>^circ ) — не существует

( ext 360<>^circ =dfrac<1><0>Rightarrow ext 2pi ) — не существует

( sin 450<>^circ =sin left( 360<>^circ +90<>^circ
ight)=sin 90<>^circ =1 )

( cos 450<>^circ =cos left( 360<>^circ +90<>^circ
ight)=cos 90<>^circ =0 )

( ext 450<>^circ = ext left( 360<>^circ +90<>^circ
ight)= ext
90<>^circ =dfrac<1><0>Rightarrow ext 450<>^circ ) — не существует

( ext 450<>^circ = extleft( 360<>^circ +90<>^circ
ight)= ext
90<>^circ =dfrac<0><1>=0 ) .

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в ( 30<>^circ =dfrac<pi ><6>, 45<>^circ =dfrac<pi > <4>) и ( 30<>^circ =dfrac<pi ><6>, 45<>^circ =dfrac<pi > <4>) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ( ( 30<>^circ =dfrac<pi ><6>, 45<>^circ =dfrac<pi ><4>, 60<>^circ =dfrac<pi > <3>) ), а также значение тангенса угла в ( 30<>^circ ) . Зная эти ( 4 ) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

( eginsin 30<>^circ =cos 60<>^circ =dfrac<1><2> \sin 45<>^circ =cos 45<>^circ =dfrac<sqrt<2>><2>\sin 60<>^circ =cos 30<>^circ =dfrac<sqrt<3>><2> end )

( ext 30<>^circ =dfrac<1><sqrt<3>> ) , зная это можно восстановить значения для ( ext 45<>^circ , ext 60<>^circ ) . Числитель « ( 1 ) » будет соответствовать ( ext 45<>^circ ) , а знаменатель « ( sqrt< ext<3>> ) » соответствует ( ext 60<>^circ ) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего ( 4 ) значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка ( K(<_<0>>;<_<0>>)=K(3;2) ) — центр окружности. Радиус окружности равен ( 1,5 ) . Необходимо найти координаты точки ( P ) , полученной поворотом точки ( O ) на ( delta ) градусов.

Как видно из рисунка, координате ( x ) точки ( P ) соответствует длина отрезка ( TP=UQ=UK+KQ ) . Длина отрезка ( UK ) соответствует координате ( x ) центра окружности, то есть равна ( 3 ) . Длину отрезка ( KQ ) можно выразить, используя определение косинуса:

( cos delta =dfrac=dfracRightarrow KQ=rcdot cos delta ) .

Тогда имеем, что для точки ( P ) координата ( x=<_<0>>+rcdot cos delta =3+1,5cdot cos delta ) .

По той же логике находим значение координаты y для точки ( P ) . Таким образом,

( y=<_<0>>+rcdot sin delta =2+1,5cdot sin delta ) .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

( eginx=<_<0>>+rcdot cos delta \y=<_<0>>+rcdot sin delta end ) , где

( <_<0>>,<_<0>> ) — координаты центра окружности,

( r ) — радиус окружности,

( delta ) — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

( eginx=<_<0>>+rcdot cos delta =0+1cdot cos delta =cos delta \y=<_<0>>+rcdot sin delta =0+1cdot sin delta =sin delta end )

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector