Сравнение бесконечно больших функций

Сравнение бесконечно больших функций

Т10)

Предел суммы двух функций:Предел суммы двух функций равен сумме пределов:

Предел произведения двух функций:Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Дано:

Доказательство: , ,

(Предел суммы и частного доказывается аналогично)

Предел частного двух функций:Предел частного двух функций равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:

Т11)

Теорема о пределе сложной функции:Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности точки и принимает значения в проколотой окрестности точки , причем .Тогда, если функция g(y) определена на , и ,то и

Теорема о знакопостоянстве функции, име­ющей ненулевой предел:Если ,то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .

Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

Т13)

Теорема о предельном переходе в неравенстве:

Если для двух функций и , имеющих пределы соответственно и выполняется неравенство , то и для их пределов выполняется то же неравенство, т.е. , ,

Доказательство

. По теореме о знакопостоянстве функции и ее предела имеем , т.е. . Теорема доказана.

Т14)

Теорема о пределе промежуточной функции:

Пусть для всех x из некоторой проколотой окрестности ( точки выполняется двойное неравенство , и пусть существуют пределы и , равные одному и тому же числу a. Тогда и

Т15)

c

Первый замечательный предел: (Геометрический способ)

Доказательство:

Проведем геометрическое доказательство, основанное на очевидном соотношении между тремя площадями:

Нами выбран круг единичного радиуса и угол х, выраженный в радианах, в интервале от 0 до п/2. Найдем три указанные площади и подставим в имеющееся неравенство:

Затем делим на sinx

Так как предел косинуса при равен 1, то интересующий нас предел оказался заключен между двумя другими, имеющими одинаковый предел. Тогда от сюда следует, что

Читайте также:  Поддержка dlna что это такое в телевизоре

Второй замечательный предел:

Для функции верны следующие утверждения:

Т16)Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях:

1. Бесконечно малые функции и их сравнение.

Пусть y=f1(x) и y=f2(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x0 (конечному или бесконечному). Если при этом f1(x)→0 и f2(x)→0, то есть если

Это значит, что f2(x) несравненно меньше f1(x) при x→x0 (f2(x) несравненно быстрее, чем , стремится к нулю при x→x0). В этом случае говорят, что функция f2(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f1(x), при x→x0. И обозначают этот факт так:

(читается: f2(x) есть «о малое» от f1(x) при x→x0). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f2(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f1(x) при x→x0.

Вариант 2:

Это значит, что при x→x0 бесконечно малые функции f1(x) и f2(x) практически не отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что функция f2(x) эквивалентна (равносильна) функции f1(x) при x→x0 . И обозначается это так:

В этом случае говорят, что бесконечно малые при x→x0 функции f1(x) и f2(x) – одного порядка малости. И записывают этот факт так:

Бесконечно большие функции и их сравнение.

Пусть

то есть функции y=f1(x) и y=f2(x) при x→x0 по абсолютной величине стремятся к бесконечности. Тогда они называются бесконечно большими при x→x0.

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

Если

то функция f2(x) называется бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция f1(x). А функция f1(x) – соответственно высшего порядка роста, чем f2(x).

Читайте также:  Как звонить самому себе на телефон

В частности, очевидно, что функции y=x; y=x2; y=x3; y=ex являются бесконечно большими при x→+∞, причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция y=xn (n>0) при x→+∞ является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция y=ax (a>1). То есть

17) Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции:

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Сравнение бесконечно малых

Определения[править | править вики-текст]

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.

· Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.

· Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается какα≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения[править | править вики-текст]

· При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

Читайте также:  Выбор морозильного ларя для дома форум

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

· то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

· При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9790 — | 7481 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector