Сумма целых неотрицательных чисел

Сумма целых неотрицательных чисел

1. Определение суммы двух целых неотрицательных чисел. Операция сложе­ния.

2. Существование и единственность суммы.

3. Законы сложения.

4. Произведение двух целых неотрицательных чисел. Операция умноже­ния.

5. Существование и единственность произведения.

6. Законы умножения.

7. Определение произведения двух целых неотрицательных чисел.

8. Связь с начальным курсом математики

Литература: (2) гл. II, 12 пп 54-56; (3) гл. III, §§ 13, 15; (4) гл. II, 10-15; (5) гл. II, 5 пп 38-43; (6) гл. VIII, с. 240-249.

Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы

Определение: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a + b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что m(A) = a, m(B) = b

a + b – сумма, a и b – слагаемые.

Теорема: сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и она единственна.

Существование: пусть a и b – целые неотрицательные числа, тогда a=m(A), b=m(B), где А и В – множества любой природы и АВ=Ø. Так как А ≠Ø и В≠Ø, то АВ≠Ø и является конечным множеством =>с Z, что с = m(AB). Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел с и есть сумма чисел a и b.

II Единственность: покажем, что сумма a+b единственна и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.

Пусть числа a и b кроме множеств А и В определяют множества А1 и B1, и пусть с1 = m (A1B1). Покажем, что с = с1 (а это будет тогда, когда АВ

A1B1).

B1, A1 B1=A B = Ø.

Доказать: A B

A1 B1.

Для того, чтобы показать, что А В

, нужно показать, что между ними существует хотя бы одно взаимно однозначное соответствие. Построим его.

Т.о. будет взаимно однозначно поставлен элемент из множестваА1В1 =>.

Операция отыскания суммы называется сложением.

Основные законы сложения целых неотрицательных чисел

1. Коммутативный закон: (а,b Z◦) [a + b = b + a]

Пусть, а = m (A), b = m (B), A B = Ø.

Так как на множестве всех множеств справедлив коммутативный закон операции объединения: АВ =ВA, а равные множества имеют равные численности, то m (AB) = т(BA).

Тогда:

2. Ассоциативный закон: (а,b, c Î Z) [(a + b) + c = a + (b + c)]

Доказательство опирается на свойство ассоциативности объединения множеств:

(A B)C = A(BC) => m ((AB)C) = m (A(BC))

Пусть даны К конечных множеств, причем никакие два из них не имеют общих элементов: тогда, если а1 = m (A1), a2 = m (A2)… ak = m (Ak), то a1 + a2 + …+ ak = m (A1 A2 Ak).

Произведение целых натуральных чисел

Определение: Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a * b, удовлетворяющее следующим условиям:

1) a * b = a + a +…+ a, при b > 1,

2) a * 1 = a, при b = 1,

Действие нахождения произведения чисел a и b называется умножением, а числа а и b – множителями.

Дадим теретико-множественное обоснование этого определения.

Если множеств будет «b», а каждое из них содержит по «а» элементов, то множество A1A2Ab будет содержать а * b элементов, т.к. m (A1A2Ab) = m (A1) + m (A2) +…+ m (Ab) = a + a +…+ a = a * b.

Существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел при таком подходе вытекает из существования и единственности суммы любого конечного числа слагаемых. Существование и единственность произведений а * 1 и а * 0 принимается по определению.

Именно с таким подходом к определению произведения целых неотрицательных чисел знакомятся учащиеся в начальной школе.

Однако для вывода законов умножения и правил, связывающих умножение с другими действиями, удобен другой подход.

Читайте также:  Восстановление удаленных папок с жесткого диска

Определение: Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число а * b, равное числу элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что m (A) = a, m (B) = b.

a * b = m (A B), a = m (A),где b = m (B) .

A B = <(x 1 y1), (x 2 y1). (x a y1)> и тогда очевидно, что m (A B) = a. A так как m (A B) = m (A) * m (B) (правило произведения), то a * 1 = a.

2. Если b = 0, то m (B) = 0 => B = Ø, тогда A B = Ø => m (AB) =0= m (A) * m (B).Откуда получаем: a * 0 = 0.

Теорема: Произведение любых двух целых неотрицательных чисел существует и оно единственно.

Так как по определению a * b = m (A B), то для доказательства достаточно показать существование такого декартового произведения множеств. Но для любых конечных множеств множество В) существует, значит существует и целое неотрицательное число m (A B), которое принимается за произведение чисел a и b, где a = m (A), b = m (B).

B1 и m (A) = m (A1) = a, m (B) = m (B1) = b. Найдем A B и A1 B1 .

Пусть a * b = m (A B)и a * b = m (A1 B1).

Чтобы показать единственность произведения, достаточно показать, что А * В

А1 * В1. А для этого нужно показать, что между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие.

A1, то существует взаимно однозначное соответствие , при котором

B1, то существует взаимно однозначное соответствие при котором

Тогда зададим соответствие f (x, y) таким образом, что

, т.е.

Очевидно, что f является взаимно однозначным соответствием, т.к. любой паре (x,y) ставится в соответствие единственная пара (x1, y1) и наоборот.

Основные законы действия умножения

2)

3)

4)

Доказательство этих законов предлагается провести самостоятельно.

Лекция № 29. ОПЕРАЦИИ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ).

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением ко­нечных непересекающихся множеств. Например, если множество А со­держит 5 элементов, а множество В — 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Теорема 2. Пусть А и В — конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем n(А È В) = n(А) + n(В).

Доказательство. Докажем сначала, что если а и b — натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка нату­рального ряда Nb на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Дей­ствительно, если поставить в соответствие числу с Î Nb число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка Nb на множество Х, Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N5. и X = <4. 5, 6, 7, 8>может быть установлено так: числу с Î N5 сопоставим число х = 3 + с: числу 1 — чис­ло 3+1=4, числу 2 — число 3 + 2 = 5 и т.д.. числу 5 — число 3 + 5 = 8.

Пусть n(А) = а, n(В) = b. Тогда существуют взаимно однозначные отображения А на Nа и В на Nb. Но, согласно доказанному выше, отре­зок Nb можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на X. Отображая взаимно однозначно множество А на Nа, множество В — на X, получаем взаимно однозначное отображение множества А È В на отрезок Nа+в. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве А È В. Значит, в множестве А È В имеется а + b элементов, что и требовалось доказать.

Читайте также:  Самая тихая мясорубка электрическая

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(А), b = n(В):

а + b = n(А) + n(В) = n(АÈ В), если, если А Ç В = Æ.

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если а = n(А),

0 = n(Æ), то. согласно теореме 2, а + 0 = n(А) + п(Æ) = n(А È Æ). Но, как известно, АÈ Æ = А, следовательно, n(А È Æ) = n(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство

А È В = В È А. Действительно, если а = n(А), b = n(В) и А Ç В = Æ, то а + b = n(А È В) = n (В È А) = b + а.

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства.:

(А È В) È С = А È (В È С). Действительно, если а = n(А), b = n(В) , с = n (С) и А Ç В = Æ. А Ç С = Æ. С Ç В = Æ, то (а + b) + с = n((А È В) È С) = n((А È (В È С)) = n(А) + n (В È С) = а +(b+с).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении тек)пых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Саша — 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так n(А) = 3, n<В) = 4 и А Ç В = Æ, то n (АÈВ) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 — 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибок.

Упражнения

I. Каков теоретико-множественный смысл суммы:
а) 3 + 5; б) 0 + 4; в) 0 + 0.

2. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы:

а) 3+4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.

а) Дима сорвал 8 слив, Нина — 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?

б) Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) и AB = , то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b = n(A) + n(B) = n(AB).

Докажем сначала, что если a и b — натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда N на множество Х таких чисел, что а + 1 х a + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с N число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка N на множество Х. Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N и Х = <4,5,6,7,8>может быть установлено так: числу с сопоставим х = с + 3, т.е. числу 1 – число 3 + 1 = 4, числу 2 = число 3 + 2 = 5 и т.д.

Читайте также:  Клавиатура для ipad pro logitech

Пусть a = n(A), b = n(B). Тогда существует взаимно однозначные отображения А на N и В на N. Но, согласно доказанному выше, отрезок N можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 х a + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно А на N и В на Х, получаем взаимно однозначное отображение множества AB на отрезок N. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве AB. Значит, в множестве AB имеется a + b элементов, что и требовалось доказать.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Используя определение суммы целых неотрицательных чисел, покажем, что 2 + 4 = 6.

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4, AB= . Например, А = <a, b>, B = <k, l, m, h>. Найдем объединение множеств А и В: АВ = <a, b, k, l, m, h>. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(АВ)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.

Выясним теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если a=n(A), 0= n(), то а + 0 = n(A)+ n()=n(A)=n(A)= а.

Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).

Покажем коммутативность. Для любых множеств А и В выполняется равенство АВ = ВА. Т.к. a = n(A), b = n(B) и AB = , то а + b = n(A) + n(B) = n(АВ) = n(ВА) = n(B) + n(A) = a + b.

Аналогично можно показать ассоциативность сложения, которая вытекает из равенства (AB)C = A(BC).

Действительно, a=n(A), b = n(B),c = n(C) и AB= , BC = , AC = , то (a + b) + c = n((AB)C) = n( A(BC)) = a + (b + c).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Например, выясним, почему следующая задача решается при помощи сложения: Катя нашла 5 грибов, Даша нашла 3 гриба. Сколько грибов нашли девочки?

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В – грибов Даши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Пусть n(A)=5, n(B)=3, AB= . А=, B=. Тогда АВ= <a, s, d, f, g, z, x, c>, и n(АВ)=8. Согласно определению суммы в теоретико-множественном подходе, 5 + 3 = 8. Значит, девочки нашли 8 грибов.

Дадим теоретико-множественное истолкование суммы нескольких слагаемых, и, используя полученный вывод, найдем сумму 3 + 4 + 2 + 9.

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма k слагаемых. Тогда сумма, состоящая из k+1 слагаемого, т.е. равна .

Значит, чтобы найти сумму 3 + 4 + 2 + 9, согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования: 3 + 4 + 2 + 9 = (3 + 4 + 2) + 9 = ((3 + 4) + 2) + 9 = (7 +2) + 9 = 9 +9 = 18.

Найдем значение выражения и объясните, какие законы сложения были при этом использованы: (16 + 9) + 21 + 14.

Решение. Используем ассоциативность, что позволяет нам опустить скобки: 16 + 9 + 21 + 14. Используя коммутативность, получим 16 + 14 + 9 + + 21. Используя снова ассоциативность, расставим скобки в нужном нам месте: (16 + 14) + (9 +21). Вычислим значения в скобках: 30 + 30. В итоге получим 60. Значит значение выражения (16 + 9) + 21 + 14 равно 60.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector