Теорема геделя о неполноте простым языком

Теорема геделя о неполноте простым языком

Утверждение первой теоремы Гёделя о неполноте можно сформулировать следующим образом:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней существует такая замкнутая формула G, что ни G, ни её отрицание ¬G не являются выводимыми в S.

Теория, содержащая неразрешимое, то есть невыводимое и неопровержимое, предложение, называется неполной.

При доказательстве теоремы Гёдель построил формулу G в явном виде, иногда её называют гёделевой неразрешимой формулой. В стандартной интерпретации [2] предложение G утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если теория S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел, формула G верна, но в S невыводима.

Доказательство Гёделя можно провести и для любой теории, полученной из S добавлением новых аксиом, например, формулы G в качестве аксиомы. Поэтому любая непротиворечивая теория, являющаяся расширением формальной арифметики, будет неполна.

Для доказательства первой теоремы о неполноте Гёдель сопоставил каждому символу, выражению и последовательности выражений формальной арифметики определенный номер. Поскольку формулы и теоремы являются предложениями арифметики, а формальные выводы теорем являются последовательностями формул, то стало возможным говорить о теоремах и доказательствах в терминах натуральных чисел. Например, пусть гёделева неразрешимая формула G имеет номер m, тогда она эквивалентна следующему утверждению на языке арифметики: "нет такого натурального числа n, что n есть номер вывода формулы с номером m". Подобное сопоставление формул и натуральных чисел называется арифметизацией математики и было осуществлено Гёделем впервые. Эта идея впоследствии стала ключом к решению многих важных задач математической логики.

Набросок доказательства [3]

Зафиксируем некоторую формальную систему PM, в которой можно представить элементарные математические понятия [4] .

Выражения формальной системы являются, если смотреть извне, конечными последовательностями примитивных символов (переменных, логических постоянных, и скобок или точек) и нетрудно строго уточнить какие последовательности примитивных символов являются формулами, а какие нет. Аналогично, с формальной точки зрения, доказательства есть ни что иное, как конечные последовательности формул (со строго заданными свойствами). Для математического рассмотрения не имеет значения, какие объекты взять в качестве примитивных символов, и мы решаем использовать для этих целей натуральные числа. Соответственно, формула является конечной последовательностью натуральных чисел, вывод формулы — конечной последовательностью конечных последовательностей натуральных чисел. Математические понятия (утверждения) таким образом становятся понятиями (утверждениями) о натуральных числах или их последовательностях, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы PM (по крайней мере частично). Может быть показано, в частности, что понятия "формула", "вывод", "выводимая формула" определимы внутри системы PM, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в PM с одной свободной переменной v (тип которой — числовая последовательность) такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы PM, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в PM с точно одной свободной переменной, тип которой натуральное число (класс классов), будем называть класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие "класс-выражение", также как и отношение упорядочения R можно определить в системе PM. Пусть α будет произвольным класс-выражением; через [α;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в PM. Теперь мы определим класс K натуральных чисел следующим образом:

(где Bew x означает: x — выводимая формула). Так как все понятия, встречающиеся в этом определении, можно выразить в PM, то это же верно и для понятия K, которое из них строится, то есть имеется такое класс-выражение S, что формула [S;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, S идентична некоторому определенному R(q) в нашей нумерации, то есть

выполняется для некоторого определенного натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в PM. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответсвии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), ¬Bew[R(q);q] будет выполняться, что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если бы отрицание [R(q);q] было выводимым, то будет иметь место ¬ nK, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

Полиномиальная форма

После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме [5] [6] [7] :

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение (θ + 2zb 5 ) 2 + (u + tθ − l) 2 + (y + mθ − e) 2 + (nq 16 ) 2 + ((g + eq 3 + lq 5 + (2(ezλ)(1 + g) 4 + λb 5 + λb 5 q 4 )q 4 )(n 2 − n) + (q 3 − bl + l + θλq 3 + (b 5 − 2)q 5 )(n 2 − 1) − r) 2 + (p − 2ws 2 r 2 n 2 ) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2 ) 2 + (4(cksn 2 ) 2 + η − k 2 ) 2 + (r + 1 + hphk) 2 + (a − (wn 2 + 1)rsn 2 ) 2 + (2r + 1 + φ − c) 2 + (bw + ca − 2c + 4αγ − 5γ − d) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − d 2 ) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2 ) 2 + (((a + f 2 (d 2 − a)) 2 − 1)(2r + 1 + jc) 2 + 1 − (d + of) 2 ) 2 + (((z + u + y) 2 + u) 2 + yK) 2 = 0 не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации [2] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справеливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако существуют доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

Набросок доказательства

Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с ее отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой ConG, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула ConG. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.

Переломным открытием математики ХХ века были теоремы о неполноте Курта Геделя. А в его рукописях, опубликованных после смерти, сохранилось логическое доказательство существования Бога. На последних Рождественских чтениях интересный доклад об этом малоизвестном наследии сделал доцент Тобольской духовной семинарии, кандидат богословия иерей Димитрий КИРЬЯНОВ. «НС» попросил объяснить главные идеи ученого.

Теоремы о неполноте Геделя: Дырка в математике

— Можно как-то популярно объяснить теоремы о неполноте Геделя? Брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Бреет ли себя брадобрей? Этот знаменитый парадокс имеет к ним отношение?

Главный тезис логического доказательства существования Бога, выдвинутый Куртом Геделем: "Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать". На фото: автор теоремы о неполноте Курт Гедель со своим другом, автором теории относительности Альбертом Эйнштейном. Пристон. Америка. 1950

— Да, конечно, имеет. До Геделя существовала проблема аксиоматизации математики и проблема таких парадоксальных предложений, которые формально можно записать на любом языке. Например: «Это утверждение ложно». Какова истинность этого утверждения? Если оно истинно, значит, оно ложно, если оно ложно, значит, истинно; получается языковой парадокс. Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)! Всегда для обоснования какой-то системы умозаключений мы вынуждены прибегать к некоему дополнительному умозаключению, которое в рамках системы не обосновывается.

Читайте также:  Определите результирующий потенциал в точке а

Прежде всего это указывает на ограниченность претензий человеческого разума в познании реальности. То есть мы не можем говорить о том, что мы построим какую-то всеобъемлющую теорию мироздания, которая все объяснит, — такая теория не может быть научной.

— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?

— Это все равно что пытаться опровергнуть теорему Пифагора. Теоремы имеют строгое логическое доказательство. В то же время предпринимаются попытки найти ограничения применимости теорем Геделя. Но главным образом споры идут вокруг философских следствий теорем Геделя.

— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?

— Оно проработано детально, хотя сам ученый до самой своей смерти так и не решился его опубликовать. Гедель развивает онтологический (метафизический. — «НС») аргумент, впервые предложенный Ансельмом Кентерберийским. В сжатой форме этот аргумент можно представить следующим образом: «Бог, по определению, является Тем, больше Кого нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать». Аргументацию Ансельма позднее развивали Рене Декарт и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Так, по мнению Декарта, мыслить Высшее Совершенное Бытие, которому недостает существования, означает впадать в логическое противоречие. В контексте этих идей Гедель разрабатывает свою версию доказательства, она умещается буквально на двух страничках. К сожалению, изложение его аргументации невозможно без введения в основы очень сложной модальной логики.

Разумеется, логическая безупречность выводов Геделя не принуждает человека становиться верующим под давлением силы доказательств. Не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека уверовать в Бога с помощью онтологического аргумента или других доказательств. Вера рождается тогда, когда человек становится лицом к лицу перед очевидным присутствием высшей трансцендентной Реальности Бога. Но можно назвать по крайней мере одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере, — это писатель Клайв Стейплз Льюис, он сам признавался в этом.

Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое

— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?

— Ассистент Эйнштейна в Принстоне свидетельствует, что единственным человеком, с которым тот дружил в последние годы жизни, был Курт Гедель. Они были различны почти во всем — Эйнштейн общительный, веселый, а Гедель предельно серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к центральным вопросам науки и философии. Несмотря на дружбу с Эйнштейном, Гедель имел свой специфический взгляд на религию. Он отвергал представление о Боге как безличном существе, каким был Бог для Эйнштейна. По этому поводу Гедель заметил: «Религия Эйнштейна является слишком абстрактной, как у Спинозы и в индийской философии. Бог Спинозы меньше, чем личность; мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности». Могут существовать духи, которые не имеют тела, но могут общаться с нами и оказывать влияние на мир».

— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?

— Да, он приехал в Америку в 1940 году из Германии, несмотря на то что фашисты признали его арийцем и великим ученым, освободив от военной службы. Он с женой Аделе пробирался через Россию по Транссибирской магистрали . Воспоминаний об этом путешествии он не оставил. Аделе вспоминает только о постоянном страхе по ночам, что остановят и вернут обратно. После восьми лет проживания в Америке Гедель стал гражданином США. Как и все подающие на гражданство, он должен был ответить на вопросы, касающиеся американской Конституции. Будучи скрупулезным человеком, он готовился к этому экзамену очень тщательно. Наконец сообщил, что нашел непоследовательность в Конституции: «Я открыл логически законную возможность, при которой США может стать диктатурой». Его друзья признали, что, независимо от логических достоинств аргумента Геделя, эта возможность была чисто гипотетической по своему характеру, и предостерегли от пространных разговоров на эту тему на экзамене.

— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?

— В 1949 году Гедель выразил свои космологические идеи в математическом эссе, которое, по мнению Альберта Эйнштейна, являлось важным вкладом в общую теорию относительности . Гедель считал, что время — «эта таинственная и одновременно самопротиворечивая сущность, которая формирует основу мира и нашего собственного существования», — в конце концов станет величайшей иллюзией. Оно «когда-то» перестанет существовать, и наступит иная форма бытия, которую можно назвать вечностью. Такое представление о времени привело великого логика к неожиданному выводу. Он писал: «Я убежден в посмертном существовании, независимо от теологии. Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование».

— «Время – самопротиворечивая сущность». Странно звучит; это имеет какой-то физический смысл?

— Гедель показал, что в рамках уравнения Эйнштейна можно построить космологическую модель с замкнутым временем, где удаленное прошлое и удаленное будущее совпадают. В этой модели становится теоретически возможным путешествие во времени. Это звучит странно, но это математически выразимо — вот в чем дело. Эта модель может иметь экспериментальные следствия, а может и не иметь. Она является теоретической конструкцией, которая может оказаться полезной при построении новых космологических моделей — а может оказаться излишней. Современная теоретическая физика, в частности квантовая космология, обладает столь сложной математической структурой, что этим структурам очень сложно дать однозначное философское осмысление. Более того, некоторые ее теоретические конструкции пока являются экспериментально непроверяемыми по той простой причине, что для своей проверки требуют обнаружения очень высокоэнергетичных частиц. Помните, как народ переполошился по поводу запуска Большого андронного коллайдера: средства массовой информации постоянно пугали людей приближением конца света. На самом деле, ставился серьезный научный эксперимент по проверке моделей квантовой космологии и так называемых «теорий великого объединения». Если бы удалось обнаружить так называемые частицы Хиггса, то это стало бы очередным шагом в нашем понимании самых ранних стадий существования нашей Вселенной. Но пока нет экспериментальных данных, конкурирующие модели квантовой космологии продолжают оставаться просто математическими моделями.

Вера и интуиция

— «…Мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности…» Все-таки вера Геделя далека от православного исповедания?

— Сохранилось очень мало высказываний Геделя о его вере, они по крупицам собраны. Несмотря на то что первые наброски собственной версии аргумента Гедель сделал еще в 1941 году, до 1970-го, боясь насмешек своих коллег, он не говорил об этом. В феврале 1970-го, почувствовав приближение смерти, он разрешил своей помощнице скопировать версию своего доказательства. После смерти Геделя в 1978 году в его бумагах была обнаружена несколько иная версия онтологического аргумента. Жена Курта Геделя, Аделе, через два дня после смерти мужа сказала, что Гедель, «хотя и не посещал церковь, был религиозен и читал Библию в кровати каждое воскресное утро».

Когда мы говорим о таких ученых, как Гедель, Энштейн или, скажем, Галилей или Ньютон, важно подчеркнуть то, что они не были атеистами. Они видели, что за Вселенной стоит Разум, некая Высшая Сила. Для многих ученых убежденность в существовании Высшего Разума являлась одним из следствий их научной рефлексии, и не всегда эта рефлексия приводила к возникновению глубокой религиозной связи человека с Богом. В отношении Геделя можно сказать, что он ощущал необходимость этой связи, поскольку подчеркивал, что является теистом, мыслит Бога как личность. Но, разумеется, его веру нельзя назвать ортодоксальной. Он был, так сказать, «домашним лютеранином».

— Вы можете дать исторические примеры: каким путем разные ученые приходят к вере в Бога? Вот генетика Фрэнсиса Коллинза, по его признаниям, к вере в Бога привело исследование структуры ДНК…

— Само по себе естественное богопознание недостаточно для познания Бога. Мало, изучая природу, открыть Бога — важно научиться Его познавать посредством того Откровения, которое Бог дал человеку. Приход человека к вере — независимо от того, ученый он или не ученый, — всегда опирается на что-то, что выходит за рамки просто логических или научных аргументов. Фрэнсис Коллинз пишет, что пришел к вере в 27 лет после продолжительного интеллектуального спора с самим собой и под влиянием Клайва Стейплза Льюиса. Два человека находятся в одной и той же исторической ситуации, в одних исходных условиях: один становится верующим, другой — атеистом. Одного изучение ДНК приводит к убеждению в существовании Бога. Другой изучает — и не приходит к этому. Два человека смотрят на картину: одному она кажется красивой, а другой говорит: «Так себе, обычная картинка!» У одного есть вкус, интуиция, а у другого — нет. Профессор Православного Свято-Тихоновского гуманитарного университета Владимир Николаевич Катасонов, доктор философских наук, математик по первому образованию, говорит: «Никакое доказательство в математике невозможно без интуиции: математик сначала видит картинку, а потом уже формулирует доказательство».

Читайте также:  Чтение технической документации на английском

Вопрос о приходе человека к вере — это всегда вопрос, который выходит за рамки просто логического рассуждения. Как объяснить, что тебя привело к вере? Человек отвечает: я ходил в храм, размышлял, читал то-то, увидел гармонию мироздания; но самый главный, самый исключительный момент, в который человек вдруг познает, что он столкнулся с присутствием Бога, не может быть выражен. Это всегда тайна.

— Можно обозначить проблемы, которые не в силах разрешить современная наука?

— Все-таки наука — достаточно уверенное, самостоятельное и хорошо идущее предприятие, чтобы так резко высказываться. Она является хорошим и весьма полезным инструментом в руках человека. Со времени Фрэнсиса Бэкона знание действительно стало силой, изменившей мир. Наука развивается в соответствии со своими внутренними закономерностями: ученый стремится постичь законы мироздания, и можно не сомневаться в том, что этот поиск приведет к успеху. Но в то же время необходимо осознавать и границы науки. Не следует смешивать науку и те мировоззренческие вопросы, которые могут быть поставлены в связи с наукой. Ключевые проблемы сегодня связаны не столько с научным методом, сколько с ценностными ориентациями. Наука в течение долгого ХХ века воспринималась людьми как абсолютное благо, которое способствует прогрессу человечества; а мы видим, что ХХ век стал самым жестоким по человеческим жертвам. И тут возникает вопрос о ценностях научного прогресса, вообще познания. Этические ценности не следуют из самой науки. Гениальный ученый может изобрести оружие для уничтожения всего человечества, и здесь возникает вопрос о нравственной ответственности ученого, на который наука не может ответить. Наука не может указать человеку смысл и предназначение его существования. Наука никогда не сможет ответить на вопрос, почему мы здесь? Почему существует Вселенная? Эти вопросы решаются на другом уровне познания, таком, как философия и религия.

— Кроме теорем Геделя, есть ли еще доказательства того, что научный метод имеет свои пределы? Сами ученые это признают?

— Уже в начале XX века философы Бергсон и Гуссерль указали на относительное значение научного знания природы. Сейчас уже стало почти всеобщим убеждением среди философов науки, что научные теории представляют гипотетические модели объяснения явлений. Один из создателей квантовой механики — Эрвин Шредингер говорил о том, что элементарные частицы являются только образами, но мы вполне можем обойтись и без них. По мысли философа и логика Карла Поппера, научные теории подобны сети, посредством которой мы пытаемся поймать мир, они не похожи на фотографии. Научные теории находятся в постоянном развитии и изменении. О границах научного метода говорили создатели квантовой механики, такие как Паули, Бор, Гейзенберг. Паули писал: «…Физика и психика могут рассматриваться как дополнительные аспекты одной и той же реальности» — и акцентировал внимание на несводимости высших уровней бытия к низшим. Различные объяснения охватывают каждый раз лишь один аспект материи, но всеохватная теория никогда не будет достигнута.

Красота и гармония мироздания предполагает возможность его познания научными методами. Вместе с тем христиане всегда понимали и непостижимость тайны, стоящей за этой материальной вселенной. Вселенная не имеет основания в самой себе и указывает на совершенный источник бытия — Бога.

Она доказывает, что невозможно создать систему аксиом, которая будет полной и непротиворечивой одновременно, если не использовать дополнительное допущение, не входящее в эту систему.
А значит, нет системы аксиом, которая доказывается из себя самой. И в том числе нет оснований говорить о доказуемости существования бога, не приводя дополнительное допущение.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Читайте также:  Как распечатать объявление с авито на принтере

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

На языке математики

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(), А(1), А(2), … и ∃x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A(n), следует невыводимость формулы ∃x ¬A(x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть, любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива) [6] .

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что [6] :

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна [

2] и A служит примером неразрешимой формулы.

Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой [7] .

Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации [

3] формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима [8] .

В форме Россера

В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что [9] :

Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна [

2] , и B служит примером неразрешимой формулы.

Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой [10] . Эта формула немного сложнее гёделевой.

Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации [

3] формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации [11] .

Обобщённые формулировки

Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки [12] :

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.

Полиномиальная форма

После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме [13] [14] [15] [16] :

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.

Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

Набросок доказательства

В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства [17] , который приведён ниже с незначительными изменениями.

Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы [

4] S поставим в соответствие определённое натуральное число [

5] . Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом:

(где Bew x означает: x — выводимая формула [

6] ). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [C;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R(q) в нашей нумерации, то есть

выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в S. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[R(q);q], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [R(q);q], то будет иметь место ¬qK, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

Связь с парадоксами

В стандартной интерпретации [

3] гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс [18] .

Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение» [18] .

Вторая теорема Гёделя

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации [

3] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

Набросок доказательства

Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой ConG, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула ConG. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector