Уравнение окружности по трем точкам

Уравнение окружности по трем точкам

Для расчета уравнения, надо знать определение окружности. Итак, окружность – это множество точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через точку центра, называется диаметром. Отрезок, соединяющий две точки окружности – хорда. Отрезок, соединяющий центр и любую точку окружности – радиус. Радиус равен половине диаметра.

Рассчитывая уравнение окружности, получаем следующие данные:
• координаты точки центра;
• длину радиуса.

И наоборот, зная длину радиуса и координаты точки центра, можно определить координаты любой точки и начертить окружность.

Для чего необходимо рассчитывать уравнение окружности? Зная длину радиуса, который рассчитывается, исходя из данных уравнения, можно определить длину любой окружности и площадь круга по следующим формулам:
• l=2πr, где l – длина окружности, π=3,14
• S=πr2

Следует помнить, круг – это множество точек на плоскости координат, расположенных внутри окружности. Оптимальный способ рассчитать уравнение окружности – воспользоваться онлайн калькулятором. Это ускорит процесс и позволит быстро решить задачи по соответствующим формулам.

Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Искомое уравнение имеет вид (xa) 2 + (yb) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим . Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.

Читайте также:  Перезагрузить ноутбук в безопасном режиме виндовс 10

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

— это уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Окружность.

— каноническое уравнение окружности

— уравнение окружности с центром в начале координат

— общее уравнение окружности

Для уравнения окружности выполнимо два условия:

1. коэффициенты при x и y равны между собой

2. отсутствует произведение текущих координат вида x*y.

Эллипс.

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фокусов – величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

— каноническое уравнение эллипса

Основные понятия, связанные с уравнением эллипса:

1. Эллипс симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат.

2. Точки пересечения с осью Ox , , а с осью Oy , .

3. Точки — вершины эллипса.

4. Отрезки и , а также их длины 2a и 2b называются большой и малой осями эллипса. Числа a и b – большой и малой полуосями.

5. Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = -a, x = a , y = -b, y = b.

6. Если a>b, то эллипс вытянут вдоль оси Ox, а если a 0).

— каноническое уравнение параболы.

Основные понятия, связанные с уравнением параболы:

1. Поскольку в уравнении у в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ox.

2. Т.к. P>0 , то x 0, значит парабола располагается справа от оси Oy.

3. При x =0, y = 0 парабола проходит через начало координат.

4. Точка (0:0) называется вершиной параболы.

Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М.

Уравнение тоже определяет параболу.

Задача 30. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Решение:

Искомое уравнение имеет вид (xa) 2 + (yb) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Читайте также:  Кабель для подключения жесткого диска через usb

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

.

Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим

.

Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.

Задача 31. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) его полуоси a = 6, b = 4;
б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16;
в) большая полуось a = 12, а эксцентриситет e = 0,5;
г) малая полуось b = 8, а эксцентриситет e = 0,6;
д) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами

Решение:

а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид

.

Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим

б) Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a 2 — b 2 = c 2 , или b 2 = a 2 — c 2 . В нашем случае b 2 = 64 — 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

в) a = 12; e = 0,5; известно, что ; в этой формуле неизвестно c. Для его определения получаем уравнение

Теперь, зная, что a = 12, c = 6, пользуясь отношением a 2 — c 2 = b 2 , найдем, что b 2 = 144 — 36 = 108; a 2 = 144.

.

г) b = 8; e = 0,6; , отсюда . Напишем соотношение a 2 — c 2 = b 2 и подставим в него c = 0,6a; b = 8. Получим a 2 = 0,36a 2 = 64; 0,64a 2 = 64; a 2 = 100.

Уравнение эллипса будет иметь вид

д) a + b = 12, .

Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что ; c 2 = 18; a 2 — b 2 = c 2 .

Поэтому (a + b)(ab) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что ab = 1,5.

Решая систему уравнений

получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

Задача 32. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x 2 + 9y 2 = 144.

Решение:

Преобразуем это уравнение к простейшему виду

Читайте также:  Как делать слоу мо на андроид

.

Разделив обе части заданного уравнения на 144, получим

.

Отсюда заключаем, что a 2 = 36, b 2 = 16. Значит, a = 6, 2a = 12; b = 4, 2b = 8. Зная a и b, из соотношения a 2 — c 2 = b 2 найдем c. Подставим a = 6; b = 4 и получим, что . Координаты фокусов будут и . Эксцентриситет эллипса

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector